数理统计学的任务：数理统计学：诞生于19世纪末20世纪初，具有广泛应用的一门数学分支 ，它以概率论为基础，研究如何有效收集和分析带有随机性影响的数据.它的 内容包括两大类：一类是试验设计和抽样调查设计，即研究如何更有效更合 理地获得数据；另一类是统计推断，即研究如何分析数据，对所研究的问题 作出尽可能精确、可靠的结论.对随机现象进行观测或试验收集整理统计资料对研究对象作出推断数理统计学概述概率论是在随机变量服从分布已知的条件下，研究随机变量 的性质、数字特征及其应用.但实际上，随机变量的分布未知.分布函数F(x)未知F的类型未知F的类型已知，但含有未知参数.数理统计本章内容6.2 总体与样本6.3 统计量及其分布6.1 引言6.2 总体与样本总体：所研究对象的全体构成的集合.个体：总体中的每一个元素.例：考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命.例：考察某大学学生的身高与体重.总体=？个体=？总体=？个体=？1.定义一、总体和个体(1)总体和个体具有两重性：一方面指所研究的实体；另一方面又指实体的特征指标.注：(2) 有限总体与无限总体. 总体包含有限个个体2.总体的随机变量表示及总体的分布总体就是随机变量.可以是一维的，可以是二维的.考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命实际上是R.V.记作X；而X的每 一个取值就是一个灯泡的寿命，即一个个体.考察某大学学生的身高与体重.总体(X,Y),X“身高”，Y“体重”.总体的分布就是随机变量的分布.以后所研究的总体多是正态总体.为了处理问题的方便，当总体中个体的数量很大时，可把该 总体看作无限总体，用连续型R.V.表示.简单随机样本：设取自总体X的样本(X1, X2, , Xn)满足:(1) 每个Xi 与总体X同分布（代表性）;(2) X1, X2, , Xn相互独立（独立性）. 则称 样本(X1, X2, , Xn) 为简单随机样本，简称为样本.样本二重性：注在有限总体中要得到简单样本, 必须进行重复抽样.但当 总体中个体数相对于样本容量充分大时，不重复抽样得到 的样本也可近似看作简单样本.随机抽样：从总体X中抽取部分个体的过程.简称抽样.样本与样本容量：抽取的部分个体(抽样的结果）叫样本；所含个体的个数叫样本容量.记为(X1, X2 , ,Xn)二、样本容量为n 的样本 (X1, X2, , Xn)由于试验的随机性， 样本是n维随机变量试验后( x1, x2, xn )数据=样本观测值 n维常数向量统计推断:分析样本数据 对总体的分布作出结论 样本从总体带出的信息 是分散的、零乱的统计量设总体X的分布函数为F(x)，(X1, X2, , Xn)是来自总体的样本，则(X1, X2, , Xn)的分布函数为连续型: X f(x)，则样本 (X1, X2, , Xn) 的密度函数为：三、样本的分布离散型：XP(X=xi)=pi i=1,2,则样本(X1 ,X2 ,Xn)的分布为：F( x1, x2, , xn ) = F(x1) F(x2) F( xn)P(X1=x1,X2=x2,Xn=xn)=P(X=x1)P(X=x2)P(X=xn)f (x1,x2, , xn) = f(x1) f(x2) f( xn)设(X1, X2, , Xn)为来自总体 X 的容量为n 的样本,h(x1, x2, , xn) 为不含未知参数的n 元实值函数，则T = h(X1, X2, , Xn)是一个随机变量，称为统计量.6.3 统计量及其分布注 ：（1）统计量是样本的已知函数，不含任何未知参数.（2）统计量用于估计时称为估计量，用于检验时称为检验统计量（3）把样本观测值代入统计量，得到统计量的观测值.故统计量也具有二重性.一、统计量的定义例2 当总体 XN( , 2) ，其中参数 , 2 未知时 不是统计量例1 当参数 已知, 2 未知时，结论如何？ 都是统计量二、常用统计量定义5.2 设样本 (X1, X2, , Xn) 来自总体 X，常用统计量： 样本均值: 样本方差： 样本k阶原点矩：样本k阶中心矩：样本标准差 : 样本均值和样本方差的性质 定理 设总体 X 的均值为 EX=，方差为 DX= 2， 样本 (X1, X2, , Xn) 来自总体 X ，则 证：由于(X1, X2, , Xn) 是简单随机样本，所以EXi=EX= ， DXi=DX= 2 (i=1, 2, , n)，而且有23=2ES)(注意到：三、抽样分布1.2 分布 数理统计学的三个重要分布定义：设随机变量X1,X2,Xn相互独立,且同服从N( 0, 1 )，则2 = X12+X22+ +Xn2 2(n). 有关2分布的结论 20 若 X2(n),Y2(m),且X与Y相互独立, 则 X+Y 2 (n+m).10 若随机变量XN( 0, 1 )，则X2 2( 1 ) .30 若 X1, X2, , Xn相互独立，同服从于正态分布N( i , i2)，则 2分布的临界值（上 分位点） 例： 3.942. t 分布 （1）定义：(2) t 分布的临界值（上 分位点） 例 若 XN ( , 2)，Y/ 2 2(n)，且X与Y相互独立，证明：证明：且X与Y相互独立所以3. F 分布 (1)定义:则(2) F 分布的临界值（上 分位点） (3) F 分布的性质 例： 20正态总体下的抽样分布两个定理五个结论.1.样本线性函数的分布定理 设Y = a1X1+ a2X2+ a n X n ，则 以下假设样本（X1 , X2 ， ，X n ）来自正态总体 XN(, 2) 其中 a1, a2, , an 为不全为零常数. 重要结论1 设(X1 , X2 ， ，X n )取自 XN( , 2)，则2.样本均值和样本方差的分布定理 设X N( , 2)，样本(X1, X2, , Xn)取自总体X ， 则重要结论2且相互独立设样本(X1, X2, , Xn)取自总体X N( , 2)，则证：3.两正态总体的抽样分布设样本(X1,X2, ,X n)来自正态总体XN(1 ,12), (Y1, Y2, , Y n2) 来自正态总体YN(2 ,22)，并假定X 与 Y 相互独立.记设样本(X1, X2, , X n1)来自总体XN(1,12)，(Y1, Y2, , Y n2) 来自总体YN(2 ,22)，且X与Y相互独立，则 重要结论4重要结论3因(n1-1)S12/1 2 2(n11) , (n2-1)S22/22 2(n21)重要结论5解：且相互独立例1 若 XN ( , 2)，样本(X1,X2, ,X n+1)来自总体X. Xn 与 Sn2 为样本均值和样本方差.求统计量 的分布且相互独立，则解：独立例2 若 XN (0 ,0.5 2)，样本(X1,X2, ,X 10)来自总体X. 求基本要求:1.理解总体、个体、样本、统计量和简单样本的概念. 2.掌握样本均值和样本方差的计算. 3.掌握正态总体某些常用统计量的分布（两个重要 定理、三个分布的判断，其它都可以推出）. 4.了解三大分布的定义，熟练掌握它们的临界值的查表计算.重点：1个重要性质+3个构造性定义+2个重要定理+5个重要结论.本章小结补充作业1.设总体XN( , 2), X1，X2，X10是取自总体X的样本,则2.设总体XN( 1 ,4), X1，X2，X6是取自总体X的样本,则 ( ) N(0, 1); ( ) t(5).3.对总体X进行抽样，得到样本观测值是 0, 1, 1, 2, 1,则样本均值为( ).4.设总体XN(0 ,1), X1，X2，X10是取自总体X的样本,则