(习题课)l从空间一直线出发的两个半一、二面角的定义二、二面角的平面角的平面角一个平面垂直于二面角 的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB,垂 足为O，则APB叫做二面角ABOll平面所组成的图形叫做二面角1、定义例1 如图P为二面角l内一点，PA于点A,PB于 点B,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。设l与平面PAB相交于点O PA, PB PAl , PAl l平面PAB连结AO、BO,则AOB为二面角l的平面角又PA=5，PB=8，AB=7APB= 60 AOB=120 这二面角的度数为120解：ABPlO小结一一.求二面角大小的一般步骤找(作)二面角的平面角证明所作角为二面角的平面角求二面角的平面角找证求二.依据定义求二面角的平面角PlABO例2 如图，已知P是二面角-AB-棱上一点，过 P分别在、内引射线PM、PN，且MPN=60 BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数。ABPMNCDO解 ：在PB上取不同于P 的一点O，在内过O作OCAB交PM于C， 在内作ODAB交PN于D， 连CD，可得 COD是二面角-AB-的平面角设PO = a ，BPM =BPN = 45又MPN=60 CD=PC aCOD=90 因此，二面角的度数为90小结二三.双垂线法求二面角的平面角ABlPOABPC取AB 的中点为E，连PE，OEO为 AC 中点， ABC=90 OEBC且 OE BC在RtPOE中， OE ，PO 所求的二面角P-AB-C 的正切值为例3 如图， RtABC所在平面外一点P在面ABC上的射影 是RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ， 求二面角P-AB-C的正切值。PEO为二面角P-AB-C 的平面角在RtPBE中，BE ，PB=1，PEOEAB ，因此 PEABE解：EOPlPAB小结三四.三垂线法求二面角的平面角ABCO三角形ABC在面内的射 影为BCO ,三角形ABC的 面积为S原，三角形BCO的 面积为S射,则射影面积公式设为所求二面角的大小， S 为二面角的一个面内的 平面图形的面积， S为该平面图形在另一个面内的 射影所组成的平面图形的面积，则如图,已知二面角,设它的大小为lABCDA1C1D1EB1M例4 如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和 底面A1B1C1D1所成角的余弦值。 GAB1E在底面A1B1C1D1上的射影为A1B1C1，故这 两个平面所成二面角的余弦值为 F F小结四 五.射影法求二面角的平面角设为所求二面角的大小， S原 为二面角的一个面内 的平面图形的面积， S射为该平面图形在另一个面内 的射影所组成的平面图形的面积，则如图（2），设二面角 的大小为利用向量法求二面角的平面角方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方 向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱的有向线 段表示的向量）的夹角。DClBA则二面角 的大小将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。注意法向量的方向：同 进同出，二面角等于法 向量夹角的补角；一进 一出，二面角等于法向 量夹角l法向量法如图，向量例5 如图, PA平面ABC，求二面角 的大小PABCABCDA1C1D1B1E例6 如图，在长方体AC1中, 点E在棱AB上移动AD=AA1=1,AB=2,AE等于何值时，二面 角 的大小为1、如图，AB是圆的直径，PA垂 直于圆所在的平面，C是圆上任一 点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.ABP B.ACP C.都不是练 习2、已知P为二面角 内一点，且P到 两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一 半，则这个二面角的度数是多少？ABCP60VABC3.空间四边形VABC的各边及对角线均 相等，求二面角 的大小4.如图，空间三条直线PA 、PB 、PC，APC= APB=60，BPC=90，求 二面角BPA C的大小 . BCAP4.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，E 是线段 AD上一点，且 AE= ED ，过 E 作MNBC ，且MN 交 AB 于M ，交AC于N ，以MN为棱将AMN 折成二 面角AMND，设此二面角为（0），连结 AB 、AD 、 A C ，求A MN 与A BC 所夹二面角的大小 . ABCDENMAMNEBDC一.求二面角的平面角的常用方法二.降维思想 将空间角转化为平面角例1 在三棱锥A-BCD中，侧面ABC底面BCD， ABBCBD1，CBACBD120。 ， 求二面角A-BD-C的大小。ADCB同学们思考以下 问题:1.由已知条件怎样找 垂线?2.通过垂线怎样找二 面角的平面角.观察总结:图中的红色部 分有什么特点?EG分析:利用三垂线定理寻找二面角 的平面角,关键是如何在一个半平 面找一个点,向第二个半平面做垂 线,往往要结合所给的几何体, 找 垂直关系。 由于AB平面AD1,BD1在平面AD1上的 射影为AD1，过点P作PFAD1于F,则 PF平面ABD1,过F作FEBD1于E， 连结PE，PEF即为二面角A_BD1_P 的平面角。例2. 如图示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为1,P是AD的中点.求 二面角 的大小.A1B1C1D1ABCDPFE观察总结:计算在哪个图形中进行的?练习1：在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三 角形，平面SAC平面ABC,SASC , M为 AB的中点 证明ACSB; 求二面角S-CM-A的大小.分析：证明线线垂 直的思路如何？用三垂线定理（或 逆）怎么作二面角的平 面角？SABCME F思考:1.怎样过二面角的其中一个 平面内一点作另外一个平面 的垂线?2.在垂线的基础上怎样找二 面角的平面角?练习2:三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，PA3， AC4，PBPCBC, 求二面角A-PC-B的大小。PABCFE用三垂线定理求二面角的平面角的步骤是： 两作一连一作垂线二作射影(斜线)一连斜线(射影)计算小 结ABCDAB=AD， BC=CD 已知三个侧面的顶 角,求相邻两个侧 面所成的角注意一些全等 三角形或相似 三角形