专题一 数学思想方法第1讲 分类讨论思想1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域.2.分类讨论的原则（1）分类标准统一，对象确定，层次分明.（2）所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分.（3）分层讨论，不能越级讨论，有时要对分类结果作以整合概述.3.分类讨论的步骤（1）确定讨论对象的主体；（2）选取恰当科学的分类标准；（3）逐类讨论，获得阶段性成果；（4）归纳整合，得出结论. 【例1】已知数列an的前n项和为Sn=32n-n2，求其通项公式an.分析 依Sn的意义知：an=Sn-Sn-1，化简即可，但要注意单独求a1=S1.解 当n=1时，a1=S1=31.当n2,nN*时，an=Sn-Sn-1=32n-n2-32(n-1)+(n-1)2=33-2n.考察a1=33-21=31,a1也适合an=33-2n.综上,an=33-2n （nN*）.探究拓展 当一般性的结论在个别个体上无法使 用，或个体属性特别时，往往要单独解决，这是产生分类讨论的基础.就本例而言，an=Sn-Sn-1， 在n=1时，没有意义（a1无前项），只有单独求a1=S1,而在求得a1与an (n2,nN*)之后，还应考察a1是否适合an（n2,nN*）时的规律，若适合则合并写出an,否则，分段表述an.变式训练1 （2009徐州、淮安调调研）已知集合A=3，m2，B=-1，3，2m-1，若AB,则实数m的值为 .解析 ABm2Bm2=-1或m2=2m-1m=1.1【例2】若不等式mx2+mx+20对一切实数x恒成立，试确定实数m的取值范围.解 （1）当m0时，mx2+mx+20对于一切实数x（2）当m=0时，原不等式为20,显然对一切实数x恒成立.综合（1）、（2）可得，当0m0,即 二次函数y的图象开口向 上，对称轴 它在0，1上的最大值只能在区间端点达到（由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系）. f(0)=m,f(1)=2-2m.当m2-2m,又当m0且a1)、对数函数y=logax (a0,a1)中底数a的范围对单调性的影响；等比数列前n项和公式中公比q的范围对求和公式的影响；复数概念的分类；不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系；运用点斜式，斜截式直线方程时斜率k是否存在；角的终边所在象限与三角函数符号的对应关系，等等.3.分类讨论产生的时机：（1）涉及的数学概念是分类定义的.（2）运算公式、法则、性质是分类给出的.（3）参数的不同取值会导致不同的结果.（4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的结果.（5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质引发不同的结论.（6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便于解决.（7）实际问题的实际意义决定要分类讨论.一、填空题1.过点P（2，3）且在坐标轴上的截距相等的直线方程是 .解析 从几何图形特征上看，分截距等于零、不等于零两种情况，所求直线方程为2.直线l过点P（-2，1），点A（-1，-2）到直线l的 距离等于1，则直线l的方程为 .解析 直线l的斜率不存在时，满足条件的方程为x=-2,当斜率存在时，设l的方程为y-1=k(x+2),由点到直线的距离公式，可得 所以直线l的方程为4x+3y+5=0或x=-2.4x+3y+5=0或x=-2 3.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩 形，则它的体积为 . 解析 正三棱柱形状的确定需分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况进行讨论.4.已知正三角形的边长为3，到这三个顶点A、B、C的距离都等于1的平面的个数是 .解析 过AB、AC中点与BC平行的平面有2个，此类平面有32=6个,还有与平面ABC平行且距离为1的2个平面.故应有8个平面满足题意.8 5.（2009江苏押题）等比数列an中，a3=7,前3 项之和S3=21,则公比为 .解析 当q=1时，a3=3,S3=21合题意；6.（2009通州调研）将一颗骰子连续掷三次，它落地时向上点数依次成等差数列的概率为(结果用最简分数表示). 解析 基本事件总数为666,按公差为0、1、2、-1、-2共分五类,能依次成等差的基本事件数18.二、解答题7.不等式(k2-1)x2+2(k+1)x+10对于xR恒成立,求实数k的取值范围.解 (1)若k2-1=0即k=1时,分别将k=1代入原不等式验证得k=-1时不等式恒成立;(2)若k2-10时,则解得k0, 4(k+1)2-4(k2- 1)2时,图形为焦点在y轴上的椭圆.10.设函数f(x)=xekx (k0).(1)求曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围.解 (1)f(x)=(1+kx)ekx,f(0)=1,f(0)=0,曲线y=f(x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=x.(2)由f(x)=(1+kx)ekx=0,函数f(x)单调递减；函数f(x)单调递增.若k0，则当且仅当即k1,函数f(x)在(-1,1)内单调递增；若k0，则当且仅当 即k-1时，函数f(x)在（-1，1）内单调递增.综上可知，函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时，k的取值范围是-1，0）（0，1.返回