空间向量的数量积运算一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 的充要条件是存在实 数使推论:如果 为经过已知点A且平行 已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的 方向向量.OABPa若P为A,B中点, 则2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使推论:空间一点P位于平面MAB内的充 要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有注意：空间四点P、M、A、B共面 实数对平面向量数量积的相关知识复习：平面向量的夹角：AOBAB叫做向量 a与 b的夹角。已知两个非零向量 a 和 b，在平面上取一点O，作OA= a,OB= b,则平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos叫做向量a, b的数量积，记作即并规定 0教学过程一、几个概念1） 两个向量的夹角的定义OAB2）两个向量的数量积注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。3）射影BAA1B1注意： 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数 ，它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小 代表在l上射影的长度。4)空间向量的数量积性质 注意：性质2）是证明两向量垂直的依据；性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量 ，有：5)空间向量的数量积满足的运算律 注意：数量积不满足结合律二、 课堂练习三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l 与的交点为B，且 lm，ln，求证：l 分析：由定义可知，只需证l与平面 内任意直线g垂直。nm gg mnll要证l与g垂直，只需证lg0 而m，n不平行，由共面向 量定理知，存在唯一的有 序实数对(x,y)使得 g=xm+yn 要证lg0,只需l g= xlm+yln=0而lm0 ，ln0故 lg0三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l 与的交点为B，且lm，ln，求证：lnm gg mnll证明：在内作不与m、n重合的任 一条直线g,在l、m、n、g上取非 零向量l、m、n、g，因m与n相交 ，得向量m、n不平行，由共面向 量定理可知，存在唯一的有序实 数对（x，y），使g=xm+yn, lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg 这就证明了直线l垂直于平面 内的任一条直线，所以l例2：已知：在空间四边形OABC中,OABC， OBAC，求证：OCABABCO巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理aAOP例3 如图，已知线段 在平面 内，线段 ，线段 ，线段 ， ，如果 ，求 、 之间的距离。解：由 ，可知 .由 知 .例4 已知在平行六面体 中， ,求对角线 的长。解：1.已知线段 、 在平面 内， ，线段 ，如果 ，求 、 之间的距离.解：2.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于，点 分别是边 的中点。求证： 。证明：因为所以同理，3.已知空间四边形 ，求证： 。证明：4.如图，已知正方体 ， 和 相交于点 ，连结 ，求证： 。已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ,点 分别是 的中点，求下列向量的数量积：作业讲评ADFCBE