3平面曲线的弧长与曲率定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示:本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计算公式.一、平面曲线的弧长定义2 设平面曲线 C 由参数方程曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为定理10.1 (光滑曲线弧长公式) 设曲线 C 由参数方若C为一光滑于是证因此由第一章1习题 6 可知于是,即从而因此当 f 在 a, b 上连续可微时,示,则 C 又可看作注1 若曲线 C 由直角坐标方程表示,则 C 亦可看作注2 若曲线 C 由极坐标方程由于解例1a例 2解解段弧长.例3 在光滑曲线线 上, 弧段 与 的长度相差不*二、平面曲线的曲率曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示, 多而弯曲程度却很不一样样. 转过的角度 要大得多比动点从Q 移到 R 时切线.到Q 时, 切线转过的角度这反映动点沿曲线从P 移设设 表示曲线在点 处切线的倾角, 表示动点由 P 沿曲线线移至时时切线倾线倾 角的增量.若之长为长为,则则称为弧段 的平均曲率.如果存在有限极限则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 的曲率. 由于曲线光滑,故总有 可得即若曲线线由 表示,则例1 求椭圆椭圆 上曲 率解 由于最大和最小的点.因此椭圆在各点的曲率为当 时, 在 处曲率最大,在 由例1可得,若 则则各点处处曲率相等, 为为 处曲率最小,显显然, 直线线上各点处处的曲率为为 0. 设设曲线线上一点P处处曲率 若过 P 作一个半径为的圆圆, 使它在点 P 处处与曲线线有相同的切线线, 并在 P 近旁与曲线位于切线的同侧(见图). 在 P 处的曲率圆.曲率圆率圆的圆心称为曲率中心.的半径称为曲率半径, 曲我们把这个圆称为曲线火车轨道从直道进入半径为 R 的(使火车的向心加速度以保证火车行驶安全道(用虚线表示), 使得曲率由零连续地变到圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨 例2 如图所示,对对此曲线线用曲率公式求得:缓冲曲线常采用三次曲线的曲率从 0 渐渐增加到接近于 从而起到缓冲因此曲线线段 作用.