排列组合与二项展开式（复习）旅管系 张燕一、知识点梳理 1、记数方法： （1）列举法：n适合题型（2）累加法： n适合题型（3）加法原理：适合题型 （4）乘法原理：n适合题型： 用数字或字母代替事物，按一定顺序穷举所有可 能的方法 结果情况为有限个，且无法用其它方法记数的题 把复杂的问题拆分成简单的问题，然后累加以达穷举的方 法。 几何图形中，不走回头路的最短路径问题 ：完成一件事，有A、B两类方式，在A类方式中有种不同 的方法，在B类方式中有种不同的方法，则完成这件事共有 A+B种方法。 凡可以分类记数的问题 完成一件事，需要分成A、B两个步骤，步骤A有种 不同的方法，做步骤B有种不同的方法，则完成这件 事共有A.B种方法。 凡可以分步记数的问题 2、排列：n（1）定义： 记作： 。n（2）计算： n（3）性质： A0n= n Ann= n3、组合：n （1）定义： 记作： 。n （2）计算： Cmn =从n个不同的元素中取出m个元素，按照一定 的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取 出m个元素的一个排列， Anmnx(n-1)x(n-2)xx2x11从n个不同的元素中取出m个不同元素并在一 组，叫做从n个不同的元素中取出m个不同元 素的一个组合 Cmnnx(n-1)x(n-2)xx(n-m+1)/m!n （3）性质： C0n= Cnn= n 对偶法则： Cmn =n n 增一法则：n4、二项式定理：n (a+b)n= n n 、通项公式：Tk+1=n 其中（k=0，1，n）叫做第k+1项的二项式系数。n 、二项式性质：n （1）二项式展开共 项；n （2）当n为偶数时， 项的二项式系数 最大；n （3）当n为奇数时， 项二项式系数最大 ；n （4）二项式展开时系数何为 ； 11Cnn-mCmn+ Cm+1n= Cm+1n+1n+12n中间两项中间一二、典型例题n例1、（数码类型问题）从0-5这6个数码中取出互 不相同的3个数码。n（1）无重复：能组成多少个无重复数字的三位数 ？n（2）可重复：能组成多少个可重复的三位数？n（3）奇数：能组成多少个无重复数字的三位奇数 ？n（4）偶数：能组成多少个无重复数字三位偶数？n（5）整除：能组成多少个能被5整除的无重复数字 的三位数？n解：（1）A51 A25=5x5x4=100（2）5x6x6=180（3）A31 A14x4=3x4x4=48（4）A52+A21 A14XA14=20+32=52（5）A52+ A14XA14=20+16=36例2、（分书问题）现有6本不同的书，下列各有多少种分法。 （1）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本 （2）分成三份，一份4本，其余两份各1本； （3）平均分成三份； 思考1、：若将上述三种分好的书再分给三个人又该怎么分？ 2、若现有六本相同的书，分给三个人，每人至少一本又该怎么 分？解（1）C61 C25xC33=6x5x4x1/2=60（2）C64 C12xC11/2!=6x5x2x1/(2x2）=15（3）C62 C24xC22/3!=15x6x1/6=15n例3、(排队问题)3个男同学、4个女同学排队，下列 情况各有多少种排放？n（1）7人排一队；（2）甲排第1位；（3）甲不排 第1位；（4）甲不排第1位也不排第7位；（5）甲 与乙必须相邻；（6）甲与乙不能相邻；（7）从排 头算起，甲必须排在乙前面；n解（1）(2） (3)(4) (5)(6) (7)例4、按要求解下列各题。 （1）求 展开式中第几项为常数项；（2）已知，求 的值。 解： （1）设第K+1项为常数项则：令6-3k/2=0 得 k=4,所以第5项为常数项（2）令x=1 得= = 三、学生练习n完成讲义中打钩部分习题作业n1、完成例2的思考及练习中没打勾部分n2、做完并上交讲义：统计与概率