一、频率的定义与性质二、概率的统计定义三、古典概型1.3 随机事件的概率(1)四、典型例题1. 定义 一、频率的定义与性质 2. 性质设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.试验 序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 422 252125241827251 249256 247251 2622580.4 0.60.21.00.20.4 0.80.44 0.500.420.480.360.540.502 0.4980.512 0.4940.5240.5160.500.502 波动最小随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性从上述数据可得(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的f 不一定相同;实验者 德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊204810610.5181 404020480.5069 1200060190.5016 24000120120.5005重要结论频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的概率.二、概率的统计定义在随机试验中,若事件A出现的频率m/n随1.定义1.2(1) 对任一事件A ,有性质1.1 (概率统计定义的性质)则定义事件A的概率为p,记作P(A)=p .着试验次数n的增加,趋于某一常数p,概率的统计定义直观地描述了事件发生 的可能性大小，反映了概率的本质内容， 但也有不足，即无法根据此定义计算某事 件的概率。1.古典概型定 义三、古典概型如果一个随机试验E具有以下特征 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；2、每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事 件 A 出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式（定义1.3)称此为概率的古典定义. 3. 古典概型的基本模型:摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球 ,n个黑球的概率?样本点总数为A 所包含的样本点个数为解设A=所取球恰好含m个白球,n个黑球(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率.解第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球 6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球样本点总数为A 所包含样本点的个数为课堂练习1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位 数字互不相同的概率. 2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量无限问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球. 4个球放到3个杯子的所有放法因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为(2) 每个杯子只能放一个球问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. 课堂练习1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.5. 古典概型的概率的性质(1)对于任意事件A ,解四、典型例题在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有于是所求的概率为解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有例 1.6（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的 概率 1/N 被分配在 间房中的每一间中，试 求下列各事件的概率： (1)某指定 间房中各有一人 ; (2)恰有 间房，其中各有一人； (3) 某指定一间房中恰有 人。 解 先求样本空间中所含样本点的个数。首先，把 n 个人分到N间房中去共有 种分法，其 次，求每种情形下事件所含的样本点个数。(b)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为 (a)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个数， 即可能的的分法为 (c)某指一间房中恰有m人，可能的分法为 进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :（1） （2） （3） 上述分房问题中，若令 则可演化为生日问题.全班学生30人， (1) 某指定30天，每位学生生日各占一天的概率； (2) 全班学生生日各不相同的概率； (3) 全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。 利用上述结论可得到概率分别为 :由（2）立刻得出，全班30人至少有2人生日相同的概率 等于10.294=0.706, 这个值大于70%。（1）（2）（3）例1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率.解(1)总的选法种数为最小号码为5的选法种数为备份题(2)最大号码为5的选法种数为故最大号码为5的概率为故小号码为5的概率为例2 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 ,试求每 个盒子至多有一只球的概率.解 将4只球随机地放入6个盒子中去 , 共有64 种 放法.每个盒子中至多放一只球共有 种不同放法. 因而所求的概率为例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有因此所求概率为(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为例4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777故一周内接待 12 次来访共有小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212 次接待都是在周二和周四进行的共有故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为例5 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.64 个人生日各不相同的概率为故64 个人中至少有2人生日相同的概率为解我们利用软件包进行数值计算.