TOPIC 4Filters DesignBasic Filters13dB (Cutoff ) Frequency : fc (Hz) Maximum Passband Attenuation : 3dB Passband Ripple : Rp (dB) Stopband Frequency : fx (Hz) Minimum Stopband Attenuation : Ax0dB -3dB-Ax dBfcfxRp dB0dB -3dB-Ax dBfcfxRp dBLowpassHighpassPassband: 0 fc (Hz) Stopband: fx (Hz)Passband: fc (Hz) Stopband: 0 fx (Hz)Basic of Filters0dB -3dB-Ax dBfofUxRp dBfLxfLpfHpLower passband edge = fLp Upper passband edge = fHp Lower stopband edge = fLx Upper stopband edge = fUx Passband Bandwidth = fHp - fLp Passband Ripple = Rp dB Maximun Passband Attenuation = 3dB Minimum Stopband Attenuation = Ax Center Frequency = fo = fHp fLp0dB -3dB-Ax dBfofUxRp dBfLxfLpfHpBandstopBandpassLower passband edge = fLp Upper passband edge = fHp Lower stopband edge = fLx Upper stopband edge = fUx Stopband Bandwidth = fUx - fLx Passband Ripple = Rp dB Maximun Passband Attenuation = 3dB Minimum Stopband Attenuation = Ax Center Frequency = fo = fHp fLpTechnical Parameters of FilterIL: RF insertion loss0dB-3dB-Ax dBfofUxRp dBfLxfLpfHpIL dBBWRejectionQ = f0 / BWRp: Ripple in the passbandBW: Difference between upper and lower freqencies at which the attenuation is 3 dB SF: Describing the sharpness of the response with the ratio between the Ax dB and the 3 dB bandwithsRejection: it is parameter accordingto the specification of a filterQulity factor Q: Another parameter describing filter selectivity 微波网络综合法设计滤波器 微波网络综合法设计滤波器时，将整个滤波 器看成是多级二端口网络的级联，实际中这 些二端口网络是串连电感并联电容。 一般先设计低通原型滤波器，实际的低通高 通带通带阻滤波器可由低通原型变换得到。微波网络综合法设计滤波器 由转移参量可以得到整个滤波器的频率响应特性。S21= 2 / ( a + b + c + d ) 或L 10 log 1 / |S21|2 10 log |( a+b+c+d )/2|2 使频率响应满足指定的响应特性得到串连电 感并联电容的大小。典型滤波器响应 实际的滤波器响应有以下几种：最大平坦响应(Butterwoth响应)等波纹响应(Chebyshev响应)椭圆函数响应线性相位响应典型滤波器响应最大平坦响应(butterwoth响应)L 1 k2 ( /c )2N式中N是滤波器阶数， c是截止频率，通带为(0 ， c )，通带边缘损耗为 1 k2，常选为-3 dB， 故 k1。 带外衰减随频率增加而单调增加， c 时, L ( /c )2N, 所以衰减以每10倍频 20N dB的速率上升。典型滤波器响应等波纹响应(Chebyshev响应)L 1 k2 TN( /c ) 2因为xc 时, 由TN(x)函数性质得到 L k2/4 ( 2 /c )2N, 所以衰减也以每10倍频 20N dB的速率 上升。但其衰减比最平坦响应大 22N/4 式中TN(x)是Chebyshev函数，其多项式表示 为 T1(x) x T2(x) 2x21 T3(x) 4x33x T4(x) 8x4 8x2 1 Chebyshev Low-Pass Filters ResponseComparison of Frequency response between Butterworht and Chebyshev FilterswhereB(3, ): attennuation response of 3-order butterworth-typeT( 0.25, 3, ) ): attennuation response of 3-order chebyshev-typewith ripple of 0.25dB T( 0.5, 5, ) ): attennuation response of 5-order chebyshev-typewith ripple of 0.5dB T(1, 7, ) ): attennuation response of 7-order chebyshev-typewith ripple of 1dB Comparison between Butterworht and Chebyshev Filters 典型滤波器响应椭圆滤波器（elliptic filter）是利用椭圆函数（elliptic function） 的双周期函数性质设计的。就低通滤波器而言，如将巴特沃思滤波器与切比雪夫滤波器的幅频特 性加以比较，它们具有以下特点：在巴特沃思滤波器中，无论是通带还是阻带均表现为单调衰减， 并且不产生波纹； 在切比雪夫滤波器中，通带内产生波纹，但阻带则为单调衰减；切比雪夫滤波器的截止特性比巴特沃思滤波器更为陡峭。因而可以这样设想，如果在通带和阻带两方面都允许波纹存在，就能 得到截止特性比切比雪夫滤波器更为陡峭的滤波器。基于这种思路的滤 波器，就是由W.Cauer提出的椭圆滤波器。 典型滤波器响应其中， 为为 的分式有理多项项式，其零点全部在通带带 1内，具有如下形式 其中 为零衰减频率， 为无穷衰减频率，零衰减频率的个数与 无穷衰减频率的个数相等。这种衰减特性与契比雪夫滤波器衰减特性相比，有如下特点：（1）通带内仍有契比雪夫滤波器响应的等波纹特性； （2）阻带内增加了有 限频率上的极点，也呈现等波纹特性；（3）过渡段区域的斜率更为陡峭。椭圆函数滤波器的衰减特性为： 椭圆函数滤波器响应典型滤波器响应线性相位响应() A 1 p ( /c )2N式中() 滤波器电压转移函数的相位，p为常数 。通常良好的截止响应特性与良好的相位响应是一 对矛盾。还可以有其他的响应，上述4种是最常用的。低通原型滤波器器件参数的确定LC1R低通原型滤波器器件参数的确定是一个道理简单计算 复杂的过程。在低通原型滤波器中，一般取g01， c1。由微波网络级联可得此电路的响应为L=1+(1-R)2+(C2R2+ L2- 2LCR2)2 +L2C2R24/4R最平坦响应为 L=1+ k24 k=1 =1时衰减3dB 得到 R=1, L = C = 21/2等波纹响应为 L=1+ k2(2 21)2 k=1 波纹3dB得到 R=5.81, L=3.1 C = 0.53对于N2的低通原型， 其结构图如右图所示：低通原型滤波器器件参数的确定一般低通原型滤波器的两种结构如下图所示。rL=gN11rG=g01L2=g2Ln=gnC3=g3C1=g1shunt capacitance series inductanceL1=g1L3=g3Cn=gnC2=g2rG=g01rL=gN11series inductance shunt capacitance图中器件的编号从信号源端的g0一直到负载端的 gN+1. 两个电路同一编号的器件取值相同，给出同样 的频响。因此它们互为对偶电路。低通原型滤波器器件参数的确定原则上，可求任意N阶低通原型滤波器的器件参数 值。但工程应用时，N过大不实际。对于最平坦响应 的低通原型滤波器。前人将至10阶滤波器的参数值列 表如下：低通原型滤波器器件参数的确定最平坦响应的低通原型滤波器至15阶时的衰减曲线如 下：低通原型滤波器器件参数的确定对于等波纹响应的低通原型滤波器，至10阶的滤波 器参数值列表如下(带内波纹0.01dB)：低通原型滤波器器件参数的确定等波纹响应的低通原型滤波器至15阶时的衰减曲线如 下：低通原型滤波器器件参数的确定对于线性相位响应低通原型滤波器，因为转移参量 的相位不像幅度那样有较简单的表达式，器件参数求 解更复杂。至10阶的滤波器参数值列表如下：n g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 1 2.000 1.0000 2 1.5774 0.4226 1.0000 3 1.255 0.5528 0.1922 1.0000 4 1.0598 0.5116 0.3181 0.1104 1.0000 5 0.9303 0.4577 0.3312 .2090 0.0718 1.0000 6 0.8377 0.4116 0.3158 6 .2364 .1480 0.0505 1.007 0.7677 0.3744 0.2944 .2378 .1778 .1104 0.0375 1.0000 8 0.7125 .3446 0.2735 .2297 .1867 .1387 .0855 0.0289 1.000 9 0.6678 0.3203 0.2547 .2184 .1859 .1506 .1111 0.0682 0.0230 1.0000 10 0.6305 0.3002 0.2384 2 .2066 .1808 .15390 .1240 0.0911 0.0557 0.0187 1.0000 低通原型滤波器器件参数的确定最大平坦响应和等波纹响应低通原型滤波器经常用 到。有时通过查衰减曲线及查表得不到相应的阶数及 器件参数值，这时可依据滤波器相关指标，由公式计 算得到N及gnImpedance: Zo (ohm)Cutoff Frequency: fc (Hz)Stopband Frequency: fx (Hz)Maximum Attenuation at cutoff frequency: Ap (dB)Minimum Attenuation at stopband frequency：Ax(dB)Butterworth LowPass Filters1Step 2: Deter