前一节，我们学习了一元线性回归分析问题，在实际应用中，有些变量之间并不是线性相关关系，但可以 经过适当的变换，把非线性回归问题转化为线性回归问 题。可线性化的一元非线性回归 常见的几种变换形式： 1、双曲线 令 2、幂函数曲线 令 化非线性回归为线性回归 变形 3、指数函数曲线 令 变形 4、负指数函数曲线 令 化非线性回归为线性回归 变形 5、对数函数曲线 令 6、S型（Logistic）曲线 令 化非线性回归为线性回归 变形 例1 测定某肉鸡的生长过程，每两周记录一次鸡的重量，数据如下表 x/周2468101214y/kg0.30.861.732.22.472.672.8由经验知鸡的生长曲线为Logistic曲线，且极限生长量 为k=2.827，试求y对x的回归曲线方程。解 由题设可建立鸡重y与时间x的相关关系为 令 则有 列表计算 序号xyyX2y2xy120.32.13144.5414.262240.860.827160.6843.309361.73-0.456360.208-2.733482.2-1.255641.576-10.0425102.47-1.9341003.741-19.3426122.67-2.8341448.029-34.0037142.8-4.64219621.544-64.9825613.03-8.16256040.323-123.531所以 所以所求曲线方程为 多重回归分析 在实际问题中，自变量的个数可能多于一个，随机变量 y与 多个可控变量x1,x2,x3,xk之间 是否存在相关关系，则属于多重 （元）回归问题。本节讨论多重 线性回归。多重线性回归模型 随机变量 与 之间的线性关系(1) 其中 未知 则（1）式称为多重线性回归模型。 多重线性回归模型 若对变量 与 分别作n次观测，则可得 一个容量为n的子样(2) 其中 为待定参数，称为回归系数。 （2）式含有p+1个参数，故观测次数应满足np+1。 则有 多重线性回归模型的矩阵形式 记 则（2）有矩阵形式 其中 确定 的最小二乘法 考虑多元函数 目标：确定 使 最小 方法： 解得 多重线性回归方程 可证：从而同一元线性回归一样越大，变量 与 之间的线性相关程度越强。 （1） （2） 时， （3） 时， 与 有线性相关关系； 与 无线性相关关系； 线性回归方程的显著性检验线性回归方程是否有统计意义，可检验假设 是否成立 方法：方差分析法，将总离差平方和分解 线性回归方程的显著性检验回归平方和，反映线性关系对观测结果产生的数 据波动，QR越大，线性相关关系越强。剩余平方和（或残差平方和），反映除线性因素之 外的其它因素对观测结果产生的数据波动，QE越大， 则其它因素对Y的影响越大。在H0成立的条件下，可以证明： （n为观测次数，p为自变量个数） 构造F统计量 当 时，拒绝H0。回归系数的统计检验 回归方程的有效性检验，只是解决了 与之间是否有线性相关关系，至于变量 对 的影响是否 有统计意义，无从看出，因此，还需对回归系数 是否 为0作统计检验。提出假设 如果H0成立，可以证明统计量 当 时，拒绝H0。利用回归方程作预测及控制 对于给定的 点估计值 置信水平为 的预测区间为 例2 某种水泥在凝固时放出的热量Y（cal/g）与水泥中 下列4种化学成分有关：的成分（%）的成分（%）的成分（%）的成分（%）现记录了13组观测数据，列在下表中，试求 对的线性回归方程。编号X1(%)X2(%)X3(%)X4(%)Y(cal/g） 172666078.5 2129155274.3 31156820104.34113184787.6 575263395.9 61155922109.2 7371176102.7 8131224472.5 9254182293.1 102147426115.9 11140233483.8 121166912113.3 131068812109.4