使学生在前后一致逻辑连贯的数学学习过程中学会思考人民教育出版社 章建跃 zhangjypep.com.cn一、数学的育人功能在哪里？ 数学在基础教育课程体系中的特殊地位， 在于它是发展学生的智力、培养逻辑思维 能力的主要学科。 数学学科的最大用处是育人，它不仅能培 养学生的几何直观能力、运算能力、逻辑 推理能力、数据处理能力等，而且在锻炼 学生的心智、培育理性精神上也是不可替 代的。二、如何发挥数学的育人功能？ 从数学和数学教育的内部寻找。 教学中，要以数学地认识问题和解决问题 为核心任务，以数学知识的发生发展过程 和理解数学知识的心理过程为基本线索， 为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程 ，使他们在掌握数学知识的过程中学会思 考。数学教育应该“取势、明道、优术” 兼顾，但目前只追求“术”，把数学搞成 解题术注重雕虫小技，而忘却了数学 的根本。三、取势 “势”是方向，“取势”是“顺势而为” 。回归数学教育的本来面目，发挥数学的 内在力量，实现数学育人的目标，这就是 大势所趋。具体而言，就是要为学生的终 生发展考虑，着眼于学生的长期利益，充 分挖掘数学所蕴含的价值观资源，以培育 学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能 力为核心，使学生在掌握数学知识、学会 数学思考的过程中，成为善于认识问题、 解决问题的人才。四、明道 明即明白、懂得，道即规律、原则。 数学教学首先要遵循“数学之道”，懂得数学 研究的“基本套路”。例如，“代数学的根源 在于代数运算代数学要研讨的就是如何有 效、有系统地解决各种各样的代数问题”，“ 数学推广过程要使得在原来范围内成立的规律 在更大的范围内仍然成立”。学习数及其运算 后，从“运算”出发，通过类比，可以自然地 提出“代数式”的研究任务、过程和方法。 例 数系扩充过程所体现的逻辑连贯性、 数学思想方法的一致性。课例：三角函数起始课 任意角 立意：让学生学会认识和解决问题的方法 。 以数学概念的发生发展过程为载体，使学 生经历完整的数学研究过程，包括：明确问题，获得对象，确定内容，选取方法，实施过程，获得结论。1如何“开篇” 本课是“三角函数”的“开篇”，应发挥 “先行组织者”的作用。 要充分重视构建本章的基本研究思路的教 学，为整章学习做好准备。 解决好两个问题：第一，为什么要学习本 章内容；第二，从哪里入手。为什么要学习本章？ 已有的函数模型不能解决“周而复始”的 变化规律的刻画问题。 “周而复始”现象中，最本质的就是匀速 圆周运动。数学中，研究一类现象，往往 从简单而本质的情形入手。因此，可以进 一步地把刻画单位圆上的匀速圆周运动作 为研究“周而复始”现象的起点。从哪里入手？ 确定单位圆周上点的匀速运动的要素是什 么？可用带有方向的角或带有方向的弧长 来刻画（这里可以类比“相反意义的量” 和“负数的引入”）。如果用同样的“单 位长度”来度量角和弧长的话，两者就可 以统一。所以，把角作为原始变量，再用 单位圆的弧长来度量角，就可为刻画匀速 圆周运动提供必要的基础。这样，把角推 广到“任意角”、引进“弧度制”是需要 先做的事情。2如何获得“任意角”概念 角是“转”出来的。 类比：用正、负数表示具有相反意义的量 ，以及确定一个“平面图形的旋转”的“ 三要素”，给定角的始边，只要确定了旋 转的方向和旋转量，这个角就唯一确定了 。 为了表示旋转量超过一周的角，需要将角 的范围扩大；为了表示不同方向的角，需 要引进正角、零角、负角等概念；相关概 念有角的顶点、始边、终边等。 具体教学时，可以采取如下过程：生活事 例到数学抽象类比（有理）数范围的 扩充，概括共同特征定义关键词 辨析。 这里需要强调“定义一个新概念的方法” ，确定一个“任意角”的条件旋转量 和旋转方向。 任意角不仅是可以取任意大小的角，而且 还有方向，这很重要。3如何表示“任意角” 除用度数表示外，还可用“形”表示。类比 数轴上的点表示实数，以“没有正负的0角” 为“基准”，角的顶点与原点重合，角的始 边与x轴的方向相同，在这个统一前提下， 任意角就只与它的终边相关。由此可以让 学生理解象限角定义的思想，而且其中渗 透了标准化、简单化、对应等思想，在同 一“参照系”下，可使角的讨论归结为终边 的问题，问题得到简化，并有效地表现出 终边位置的“周而复始”4“象限角”的性质 定义了一个数学对象，就要讨论它有哪些 性质。性质有多种研究方向。 象限角：给定一个角，存在唯一的终边与 之对应；但一条终边可以对应无数个角。 既然这些角的始边相同，终边重合，数学 素养好的学生自然会想，它们之间一定有 内在联系，一个自然的问题是：终边相同 的角之间有什么关系呢？小结 本堂课立足于充分发挥数学的内在力量， 发展学生数学思维能力，培育学生的理性 精神，使学生逐步学会认识问题、解决问 题的方法，针对“三角函数的开篇”的内 容特点，先构建研究“周而复始”运动变 化规律的整体框架，然后再从中找到研究 问题的切入点角的概念的推广； 以“研究一个数学对象的基本套路”为指 导，让学生经历“背景定义表示性 质”的过程研究“任意角”。 数学教学还要掌握学生的“思维之道”， 按学生的认知规律教学。例如，“数列” 的学习应该按照这种“认知的规律”，为 学生构建一个研究“一列数”的“基本套 路”，使学生经历研究一个数学对象的基 本过程，提高发现和提出问题、分析和解 决问题的能力，培养认识和解决问题的能 力。等差数列的理解与教学 数列的概念和表示注意从函数的研究 中得到启发； 等差数列：概念、表示（通项公式）、性 质（等差中项），等差数列的“原型”就是 自然数列n； 等差数列的前n项和公式：从概念和性质中 推出的自然结果； 应用作为知识的联结点。等差数列的概念和通项公式 如何教概念？ 问题 观察下列数列，你有什么发现？ （1）0，5，10，15，； （2）5.5，7.5，9.5，11.5，； （3）0，2.5，5.0，7.5， 追问：是相邻两项的差吗？从第二项起 这个问题能引出等差数列的概念吗？ 问题不恰当，源于： （1）对概念理解不到位“等差”是由运 算引发的！等差数列是一类特殊的数列， “考察特例”是一种“基本套路”； （2）对教材不理解教材是这样开头的： 初中学了实数及其运算、性质。现在我们 面对一列数（数列），能不能也像研究实 数一样，研究它的项与项的关系、运算和 性质呢？我们先从一些特殊的数列入手； （3）对学生不理解这些数列的共同特征 不只是“等差”，没有从关系、运算等作 必要引导，学生的观察没有方向。如何教通项公式？ 什么叫“通项公式”？ 研究一个数学对象的“基本套路”是： 获得对象（下定义）表示对象研究性 质建立与相关知识的联系。 “通项公式”等差数列的一种表示，就 像函数的解析式一样，要回答的是“第n项an 与序号n的关系”。 “求通项公式”从定义出发。等差数列的性质 运算中出现的规律性有了运算，数的 力量无限。 最简单的等差数列：三项“等差中项” ； 如何看“等差中项”？平均数！ 当m+n=p +q时，am+ an= ap +aq ； 前n项和公式的教学设计 作为自然数列性质的自然延伸、一般化将 a1=1，d=1一般化。 如何看1+2+3+n= ？ 有多种角度：“平均数”，不同数求和化归为相 同数求和，等； “平均数”本质上是等差数列的性质：am+ an= ap +aq ，当m+n=p +q时这是“倒序求和”技巧 的源头。教科书的设计思路 总体思想：希望学生领悟到“倒序求和”技巧的来 源。 问题1高斯是如何求出1+2+100的？ 问题2如果从数列的角度看，你认为他利用了数列 1，2，3，的什么特性？ 问题3你能用高斯的方法求1+2+101吗？ 问题4如何用高斯的方法求1+2+n？ 问题5一般地，设公差为d的等差数列an，你能 求出Sn=a1 +a2 +an吗？（什么叫求Sn？） 回到概念去，回到基本性质去返璞归真 ，至精至简，以简驭繁，大巧若拙。 “倒序求和”是雕虫小技！关于“递推数列”的教学 常见做法归纳题型，总结技巧： 1利用a1=S1，an=SnSn-1 2an+1 =k an+b型，分k=1和k1讨论， k1 时 ，设an+1+m=k（an +m）， 3an+1=kan +f(n)型，分k=1、f(n)是否可求和 ，k1、f(n)=an+b， f(n)=qn(q 0，1)，等； 4an+1 =f(n)an型； 5. an+2=pan+1+qan(p、q为常数)型； 题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为 主线，杂乱无章。an+1=p an +q型通项公式的教学设计 核心思想：通过代数变形，将其他数列化归为 等差、等比数列。 求an+1=p an +q型数列通项公式问题，一般地， 抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题 的基本策略。 问题1 已知a1=1，an+1=2an+1（n1），求通 项公式。 问题2 已知a1=1，an+1=2an+3（n1），求通 项公式。 问题3 已知a1=1，an+1=2an+t（n1），求通项 公式。 问题4已知a1=1，an+1=3an+1（n1），求 通项公式。 问题1、2可以“凑”，但问题4不能，怎么办 ？注意观察前两个问题的解决过程，转化 得到的结构有什么共性？对解决问题4有什 么启发？ 结论：都转化为an+1+t=2(an+t)的形式。 问题4 一般地，对于a1=a，an+1=pan+1 +q， 如何求通项公式？因为推广到了“同类 事物”，所以要注意“完备性”，细节、特例 的追究。加强认识和解决问题方法的教学 如何获得研究对象； 构建研究数学对象的基本线索； 发现和提出值得研究的具体问题； 掌握研究问题的基本方法。五、优术 “术”的基本解释是方法、技艺，如技术 、艺术、学术、战术、心术等，是知识、 经验、技术、方法、手段等的集合体，也 是解决问题的流程和策略。“术”是“明 道”后转化而来的具体操作方法，是可以 提高办事效果和效率的技巧。“优术”即 提升方法、技艺的水平，积累实用的策略 ，总结经验并从中发现规律（经验之中有 规律）等等。 例：“基本不等式”的教学思考。让学生解“好题” 好题的标准：反映数学本质，与重要的数 学概念和性质相关，体现基础知识的联系 性，解题方法自然、多样，具有发展性， 表述形式简洁、流畅且好懂，等等。做题目，为什么？ 现状：解题教学占据大部分时间。认为“会 解题”最重要，解题速度快就是灵活，会解 难题就是数学水平高。因此，数学教学中 ，为追求速度而搞大运动量刺激-反应训练 ，为解难题而挖空心思地玩技巧等现象司 空见惯，至于解题目的，太多老师疏于思 考。解一辈子题不知道“为什么”，乃至教一 辈子数学不知道教什么的老师大有人在。解题的目的 加深理解概念，牢固掌握双基； 加强概念的联系性，从联系中获得灵活运 用知识的灵感； 学会思考，培养和发展能力； 查漏补缺； 培养学习（解题）习惯。解题教学的要诀 习题要精选，题量要适度； 题目要有典型性和多样性，要有一定数量 的基本题； 由单一到综合，循序渐进，由浅入深； 培养“回到概念去”、“从联系中寻找新思路” 的习惯； 一定要有解题后的反思环节一类题目的 解法。 课例：点到直线的距离公式六、取势明道优术的辩证关系 取势务虚，明道求实，虚实结合，方可行 事；道为术之魂，术为道之体，以道统术 、以术得