平面几何教法研究 5 圆的教学一、教材内容概述在一般的初中几何课本中，以圆命名的一章，其内容概括起来，大体上含有如下的六部分：1圆的基本性质课本中以此为标题的内容主要是：(1)圆的概念，点与圆的位置关系；(2)圆的确定；(3)垂直弦的直径的性质；(4)弧、弦和弦心距之间的关系2直线和圆的位置关系(1)直线与圆的相离、相切与相割的概念；(2)切线的性质与判定3和圆有关的角(1)圆心角、圆周角、弦切角、圆内角和圆外角的度量；(2)圆幂定理4圆与多边形(1)圆与内接和外切的三角形、四边形的性质；(2)等分圆周及正多边形的作图；(3)圆周与弧长的计算，圆、扇形、弓形面积的计算5两圆的位置关系(1)两圆外离、外切、相交、内切、内含的概念及性质；(2)两圆的公切线的概念及存在6点的轨迹(1)命题四种形式及相互关系；(2)点的轨迹的概念及基本轨迹命题(与两定点等距离的点的轨迹，与两交直线等距离的点的轨迹，与两平行线等距离的点的轨迹，距一直线为定长的点的轨迹，距一定点为定长的点的轨迹，过两定点张定角的角的顶点的轨迹)。(3)解作图题的轨迹法二、教学目的圆的教学内容，从理论上说，可谓研究一般曲线形的基础也可以说圆是最简单的曲线形，研究各种曲线形的理论时，常直接或间接地涉及到圆的理论从应用上说，无论在生活上还是在生产上，都常常离不开圆的这些理论的使用因此，这部分内容也确是符合中学教学要求的、中学生应该牢固掌握的基础知识为此，和直线形的教学要求一样，务使学生牢固掌握这部分的知识和熟练有关的应用技能而且从教材的选择和论述来看，不论在理论上还是在应用技能上，还应在学生的原有基础上，作更高一步的要求由于在这部分的教学中，涉及到了论证的普通归纳法(如圆周角定理等)、穷举法(如四边形内接于圆的判定等)，再加上要对几何作图解的“讨论”等有关科学分类的运用，因而通过这部分的教学，必须有提高学生的逻辑推理能力的要求更何况涉及的定理、例题、习题的内容也较复杂，论证思路的寻求有的也不太明显在这部分的内容中，涉及计算的问题也较多，常常要用到比例、相似的理论，直至在解作图题时要用到代数分析法等，因而通过这部分的教学，应有进一步提高学生的计算能力的要求更因在这部分内容里，所涉及的图形已较复杂，而且解几何作图题的要求也有所提高，因而在这部分的教学中，也应有进一步提高学生的作图能力的要求由于在教学中，为了使学生能深刻领会理论，常以与有关的直线形对比的方式进行；常以运动的观点使学生发现与概括理论等，这些都是提高学生的数学思维能力的措施，特别是加强运动、变化的观点，提高联想类比的能力，分析、归纳与概括能力等因而在教学中，也应有加强培养与提高有关的数学思维能力的要求总的说来，这部分的教学目的是：(1)使学生明确各项概念及相互间的联系，并熟悉各个概念的使用(2)使学生掌握各项定理，熟悉推证方法并知论证思路的寻得，熟悉定理的使用(3)提高学生的逻辑推理能力，明确普通归纳法和穷举法的要求，并初步会用(4)提高学生的计算与作图的技能(5)提高学生的数学思维能力，尤其是联想、类比能力和分析、归纳、概括能力，加强研究数学的运动、变化观点三、教法方面的注意事项在这里仍以几项重点内容为例，研究它们的教学方法，以能充分地达到前述的教学目的1新旧知识对比地进行“圆的确定”的教学“三个不共线的点确定一圆”这个命题，和“两点确定一条直线”的公理一样，分别是点与圆、点与直线的最基本的结合关系不仅在理论上，而且在应用上，都是重要的基础、因而必须使学生能深入地理解和熟练地使用由于这个命题不像“两点确定一条直线”那样明显，而且又是要推理证明的定理，因而在教学中，不能只按课本上的叙述来进行其教学过程可考虑如下地设计：首先引导学生回忆“两点确定一条直线”这项公理的特殊性，类比着提出“过一点、两点的圆的有无及多少”的问题，使学生结合实验考虑这些结论当学生画出图 57(1)后，便使答出“过一点 A 可有无数圆”，并明确“圆心的位置可任选，与点 A所连的线段为半径”同时为了使学生深刻认识圆的概念和使用，还可明确即使过点 A 的圆的半径加以限制，也是无数个只是圆心的位置不能任选，都在以点 A 为圆心限定的半径为半径的圆上在学生画图 57(2)前，先使根据圆的定义明确过点 A 和 B 的圆的圆心必与 A、B 等距离，从而认清圆心必在线段 AB 的垂直平分线上，然后画出图来，从而就图答出“过两点的圆也可有无数个，只是圆心必在两点所连线段的垂直平分线上”对于过三个不共线的点的圆的有无问题，可先在黑板上定出 A、B、C 三点(图 57(3)，使学生据图5-7(2)的经验考虑并实作既学会寻求圆心的方法，也看出圆的唯一性在这里有两个要注意的问题，一个是关于唯一性的证明，由于学生是初次学习，因而要详加说明，以免产生逻辑的错误另一个是结论的叙述，初学的学生容易错误地指出“过三点只有一个圆”因而应使他们先提这种错误的答案，然后在黑板上画共线的三点使他们观察、思考并证明不存在同时通过这样三点的圆这样，便可深刻理解“三个不共线的点确定一圆”这个定理了至于过四个点的圆的有无问题，学生就着图 57(4)便可理解了2突出普通归纳法进行圆周角定理的教学在这部分的教学中，值得在教学法方面作些研究的，首先是“圆周角定理”的教学如前所述，这里学生第一次见到的用普通归纳法论证的定理从经验可知，如果按照课本所列，先画出所含三种情况的图，然后逐次去论证，学生因专注于证法，不易领会普通归纳法的必要性；也容易把运用普通归纳法的条件，单纯地认为“符合定理条件的图形如果结果有所不同，必须分情况证明”，而忽视了“各情况的证明内容也不全一样”的条件因此，在教学中为了避免这种误解的发生，更在前述教学目的的指引下，可不同时提出三种情况的图，而是先从第一种情况开始，如图 58(1)所示启发学生寻得论证思路并把证明写在黑板上而后从分析证明中利用的是圆周角的一边通过圆心的特点，引出当圆周角的不通过圆心时该如何的问题，提出图 58(2)使学生自己证明后，比较这两种情况的证明内容，认清不全一样后，指明不能只以第一种情况的证明代替各种情况的证明至此再引导学生根据圆周角定义检查是否这两种情况已能代表定理所含的全部情况从而引出第三种情况如图 58(3)所示使学生自己证明后，确认证明内容与前两种情况不全一样这样，再指明普通归纳法的含义及要求，突出强调当一定理所含情况不止一种，且各种情况的证法又不全一样时，必须各个地证明，不能以某一种的证明代替全部的证明3突出穷举法地进行四边形内接于圆的判定的教学这里指的是“圆的内接四边形对角互补”这个定理的逆定理“对角互补的四边形必可内接于一圆”的教学。这个逆定理的论证内容，与原定理的论证内容相比，可以说是既繁且难的尤其是如前所述，这是学生第一次见到的用穷举法论证的定理从经验可知，初学的学生常只记住这个定理的结论，能运用于解决简单的问题，但并不真正理解定理论证的实质，以致不能自如地去用于解较复杂的问题因此，在教学中应着重使学生体会这种寻求论证思路方法，并从而认清穷举法的含义和要求为此，教学过程可设计如下：引导学生回忆，过一点、两点、不共线三点的圆是存在的，过四点则未必；以及四点若在同一圆上，则以之为顶点的四边形的对角互补从而引出问题：“对角互补的四边形是否可内接于一圆？”或者说“对角互补的四边形的四个顶点是否可在同一圆上？”启发学生思考：由于不共线的三点确定一圆，因而如图 59(1)所示，欲证 A、B、C、D 四点在一圆上，即可转化为证明点 D 在点 A、B、C 所确定的O 上了但学生多只从寻求论证 OD 等于O 的半径 OA=OB=OC 的思路去考虑，难以达到目的可进一步启发：“把点 D 看作O 与射线 BD 的交点，从而转化为证明O 与直线 BD 的交点除点 B外，何以必为点 D 了”由于学生多只从直接证法(顺证法)去寻求论证思路，因而仍不能达到目的则继而引导学生从“反面”考虑：O 与射线 BD 的交点若不是 D，则应在何处？”如是，则学生不仅易于考虑到所指交点或在 B、D 之间(图 59(2)，或在 BD 的延长线上(图 59(3)；而且还能考虑由“反证法”来论证并且能结合对图形的观察，得出证明小结思考方法，突出明确穷举法的含义及要求4轨迹与作图的教学要点如前所述，在初中几何课中，“点的轨迹”的内容只是最简单的，但又是最基本的由于是最基本的有关点的轨迹的知识，因而教学要求应较高些虽然内容是最简单的，只是指以前述的“基本轨迹命题”为主，其内容是最简单的实际上从经验可知，初学轨迹的学生，首先对抽象的“点的轨迹”的概念是难以理解的，以致对“基本轨迹命题”也难以深刻理解其实质，从而应用起来常有束手无策之感为此，在这部分的教学中，不能只着重使学生以学习各项“基本轨迹命题”为主即使初次学习抽象的轨迹的概念，不宜要求学生理解得很深，但也不能只以“先形式地理解、记忆”为准一般地说，在这部分的教学中，应注意如下的要点：(1)密切联系实际，充分结合有关的学生已学过的知识、学生生活经验中的实例，使学生认清四种命题间的等价、不等价的关系，记清四种命题的结构如此，才能使学生有可能理解抽象的“点的轨迹”的定义(2)用运动的观点；并通过学生按轨迹的条件，动手取点描迹的操作，使学生深刻领会轨迹的含义在此基础上，并根据原命题与逆命题的关系，明确“点的轨迹”的定义这样的教学过程不仅易使学生理解抽象定义的实质，而且能使学生通过思考、操作，体会以运动观点易于发现数学规律及其过程，从而提高数学能力注：在教学中常以“轨道”、“痕迹”解释“轨迹”的字意，这确是以运动观点解释数学知识的一种反映但应注意防止学生产生“点的轨迹就是线”的错觉如可举“平面上与正三角形三边的距离之和等于正三角的高的点的轨迹，是正三角形及其内部点的全体”一类的例子以明之(3)除作为点的轨迹的圆的定义外，在其它的“基本轨迹命题”的教学中，均宜先使学生按给定的、轨迹上的点的性质，各自在纸上取点描迹，估计出所构成的图形，而后再进行论证在论证过程中，宜先明确“证明”的步骤并适当启发，由学生自己去寻求论证思路(4)适当选择较为简易的、综合运用“基本轨迹命题”的例题和习题使学生习作，其中也应含有实际事例性的问题用以使学生既能进一步明确与巩固已学知识，更能易于领会知识的用法关于解作图题的目的已如前述在“圆”的部分中讲作图题，应注意以下的教学要点：(1)应使学生明确解几何作图题中“作法”、“证明”、“讨论”的意义和要求，并能正确和较熟练地表达出各项内容(2)在“分析”过程中，充分运用运动的观点，显示出轨迹基本命题及其它有关定理的用途和用法，并从而达到使学生进一步巩固轨迹的知识和其它知识的效应(3)作为“分析”中假设的图形和按条作出的正确图形，不应像课本中和前述那样“一图两用”在教学中用假设的图形分析出作法后，应以圆规、直尺按步在黑板上(同时也是学生在纸上)作出正确的图形用以熟悉“作法”各步的内容(4)在“讨论”时强调分类的依据，并按类用圆规、直尺进行实地作图试验，而后再归结为理论，得出正确的结果(5)根据教学大纲的要求，仍应在这部分的教学中，可以允许学生暗中使用三角板、量角器代替圆规、直尺(即叙述作法时，仍只显示圆规、直尺的用法)进行作图，以达到使学生熟练使用圆规、直尺、三角板、量角器等常用绘图工具进行绘制几何图形的技能的目的