第 5 章5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础产生位移的原因：（1）荷载 （2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差以上是绝对位移以上是相对位移广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便推导位移计算公式的基本思路：1、静定结构由于支座移动引起的位移计算；2、静定结构由于局部变形引起的位移计算；3、静定结构由于整体变形引起的位移计算。二、虚功1、实功与虚功实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22，虚功是力在另外独立状态的位移上作的功。(前述各例)如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。P1P2112212荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系P与成正比。P11P1元功：再加P2， P2在自身引起的位移22上作的功为：在12过程中，P1的值不变，12与P1无关dTOABKj 位移发生的位置产生位移的原因2、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=S1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量m2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。3）若广义力是等值、反向的一对力PPPttABBA这里是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶 mABmmAB 这里是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角。PabABCP=1A BCab三、虚力原理已知求虚功方程设虚力状态小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相应的支座反力。构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。 单位荷载法设单位荷载，其虚功正好等于拟求位移。虚设力系求刚体体系位移四、支座位移时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移（2）杆CD的转角ABCDABCD1ABCD1已知位移求:所得正号表明位 移方向与假设的单 位力方向一致。求解步 骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力 ；（3）解方程得定出方向。（2）建立虚功方程静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和应变，但产生位移abl/2l/2h1 10=AY1=BhX 0=BY=1 AhX计算中心铰两侧截 面的相对转角位移abl/2l/2h1=B2Y=1 A2Y计算中心铰的竖向位移1l=B4hXl=A4hXBABA1 AB虚功方程：例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d， 试求A点在ii方向的位移 。一、局部变形时位移计算举例5-2 结构位移计算的一般公式BABA1 A例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位 移d，试求A点在ii方向的位移 。例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在方向的位移 。BABABA1由平衡条件：虚功方程：当截面B同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：二、局部变形时的位移计算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三种变形：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。dsRdsdsRds1（2）微段两端相对位移：续基本思路：设微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移d即前例的结论。或三、结构位移计算的一般公式一根杆件各个微段变形引起的位移总和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：适用范围与特点：2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。包括超静定。（4）材料种类：弹性、非线弹性材料。1） 适于小变形，可用叠加原理。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虚功：内虚功：变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即：四、位移计算的一般步骤:K1实际变形状态虚力状态(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2) 求虚力状态下的内力及反力表达式;(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。作业 5-2（注意，问题是求多个位移，求每个 位移时，单独做图表示单位载荷状态）5-3 荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。 一、计算步骤（1）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k-为截面形状系数1.2(3) 荷载作用下的位移计算公式两项内力 同号、同方向取正二、各类结构位移计算的简化公式（1）梁与刚架（2）桁架（3）拱、组合结构qACB(a) 实际状态P=1 ACB(b) 虚设状态AC段CB段例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移。2）列出两种状态的内力方程：1）设单位载荷状态AC段CB段2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段CB段设为矩形截面 k=1.23）讨论比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比 , 由材料力学公式 。 设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有代入上式PP11 11.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例2 计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB设单位载荷状态11 11.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDC DE材料杆件lA钢筋砼钢CEAEEGABC DEFG求DVPPP4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/3000000000013P设单位载荷状态PP=1例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。解：1）虚拟单位荷载虚拟荷载3）位移公式为ds=Rddds钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2=MN ARI可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形 引起的位移不可忽略.2）实际荷载h101R如2=MQ GAREIkPl/2l/2EIABx1 x2例4：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=12）MP 须分段写ql例5：求图示等截面梁A、B两端的相对端转角位移。AB解：1）虚拟单位荷载m=1m=12）EI积分常可用图形相乘来代替作业 5-7（a），5-11