13.2 二重积分的计算方法一、利用直角坐标计算二重积分在直角坐标系下用平行于坐标轴 的直线网来划分区域D，D D则面积元素为已知平行截面面积 的立体的体积注：二重积分转变为二次积分的 推导过程借助于几何直观，略去 了分析证明过程。用平面x=x0截立体， 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为已 知的立体求体积”的 方法,得注意D的特殊之处。定理13-1（基本定理）函数f(x,y)在闭矩形区域D:可积,若每一个若每一个dca b如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数 、 在区间 上连续.X型X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.如果积分区域为 ：Y型Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别 使用积分公式则必须分割.对非X、Y型区域解积分区域如图解积分区域如图(1). 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X型区域, 则解法2. 将D看作Y型区域, 则例3计算下列二重积分解解X-型（4）. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 解（6）. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X 型域 :先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序 .解令y-x=u交换积分次序-1 o 1 x 令u=-tO 1 xy1 例7解 先去掉绝对值符号，如图o 1 xo 1 x例6证Z=f2(x,y)Z=f1(x,y)Z=0利用二重积分计算空间立体体积例1.解所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为底为例2. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为二、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图解解解解例5 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ax所围立体的 体积。解：xyoxyz解 D=2D1例7解三、二重积分的换元法例1解例2解