第二讲 复变函数与解析函数连续函数的复合函数仍为连续函数。有界性：第二章第二章 解析函数解析函数& 第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念& 第二节第二节 函数解析的充要条件函数解析的充要条件& 第三节第三节 初等函数初等函数& 1. 复变函数的导数定义& 2. 解析函数的概念2.1 解析函数的概念一. 复变函数的导数 (1)导数定义定义 设函数w=f (z) zD, 且z0、 z0 +zD，如果极限 存在，则称函数f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，记作如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。A (1) z0是在平面区域上以任意方式趋于零。A (2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) 例1(2)求导公式与法则 常数的导数 c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然数).证明 对于复平面上任意一点z0，有-实函数中求导法则的推广 设函数f (z),g (z) 均可导，则f (z)g (z) =f (z)g(z)，f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z)复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g(z)，其中w=g(z)。 反函数的导数 ，其中: w=f (z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。&思考题例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？例2解解例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。证明A (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为z0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.?二. 解析函数的概念定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f (z)在z0解析；如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。 A (1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)0时)均是D内的解析函数。定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析,h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值集合 G，则复合函数w=f g(z)在D内处处解析。u注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“ 解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正 则”等；u注解2、一个函数在一个点可导，显然它在 这个点连续；u注解3、解析性与可导性的关系：在一个点 的可导性为一个局部概念，而解析性是一个 整体概念；注解：