实验八概率与频率数学实验q 概率，又称几率，或然率，是反映某种 事件 发生 的可能性大小的一种数量指标，它介于 0 与 1 之间。q 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分支学科，希望通过本实验的学习，能加深对频率和概 率等概念的理解和认识，并掌握一些概率统计的基 本原理。问题背景和实验目的随机现象中出现的某个可能结果基本知识q 随机试验：满足下列三个条件u 试验可以在相同的情况下重复进行； u 试验的所有可能结果是明确可知的，且不止一个； u 每次试验的结果无法预知，但有且只有一个结果。q 概率与频率l 概率是指某个随机事件发生可能性的一个度量，是该 随机事件本身的属性。 l 频率是指某随机事件在随机试验中实际出现的次数与 随机试验进行次数的比值。频率概率随机试验进行次数注：rand(n)=rand(n,n)Matlab 中的随机函数randperm(m)l 生成一个由 1:m 组成的随机排列randn(m,n)l 生成一个满足正态 m n 的随机矩阵rand(m,n) l 生成一个满足均匀分布的 m n 随机矩阵，矩阵的每个元素都在 (0,1) 之间。perms(1:n)l 生成由 1:n 组成的全排列，共 n! 个l name 的取值可以是 norm or Normal unif or Uniform poiss or Poisson beta or Beta exp or Exponential gam or Gamma geo or Geometric unid or Discrete Uniform. .random(name,A1,A2,A3,M,N)Matlab 中的随机函数绘制直方图hist(X,M) % 二维条形直方图，显示数据的分布情形l 将向量 X 中的元素根据它们的数值范围进行分组，每一组 作为一个条形进行显示。条形直方图中的 x-轴反映了向量 X 中元素数值的范围，直方图的 y-轴 显示出向量 X 中的元素落 入该组的数目。M 用来控制条形的个数，缺省为 10。x=1 2 9 3 5 8 0 2 3 5 2 10; hist(x); hist(x,5); hist(x,2);例：x=randn(1000,1); hist(x,100);histfit(X,NBINS) % 附有正态密度曲线的直方图l NBINS 指定条形的个数，缺省为 X 中数据个数的平方根。fix(x) : 截尾取整，直接将小数部分舍去 floor(x) : 不超过 x 的最大整数 ceil(x) : 不小于 x 的最小整数 round(x) : 四舍五入取整Matlab中的取整函数x1=fix(3.9);x2=fix(-3.9);x3=floor(3.9);x4=floor(-3.2);x5=ceil(3.1);x6=ceil(-3.9);x7=round(3.9);x8=round(-3.2);x9=round(-3.5);x1=3x2=-3x3=3x4=-4x5=4x6=-3x7=4x8=-3x9=-4取整函数举例unique(a)l 合并 a 中相同的项，并按从小到大排序l 若 a 是矩阵，则输出为一个列向量prod(X)l 如果 X 是向量，则返回其所有元素的乘积。l 如果 X 是矩阵，则计算每一列中所有元素的乘积。其它相关函数a=1 2 9 3 2 3; b=unique(a)a=1 2 9; 3 2 3; b=unique(a)q 根据表达式的不同取值，分别执行不同的语句switch expr case case1 statements1 case case2 statements2 . .case casem statementsm otherwisestatements endswitch 选择语句method=Bilinear; switch lower(method)case linear,bilineardisp(Method is linear)case cubicdisp(Method is cubic)case nearestdisp(Method is nearest)otherwisedisp(Unknown method.) endswitch 选择语句举例q 这里我们主要用 rand 函数和 randperm 函数 来模拟满足均匀分布的随机试验。q 试验方法u 先设定进行试验的总次数 u 采用循环结构，统计指定事件发生的次数 u 计算该事件发生次数与试验总次数的比值试验方法q 随机投掷均匀硬币，验证国徽朝上与朝下的概率是 否都是 1/2 n=10000; % 给定试验次数 m=0; for i=1:nx=randperm(2)-1;y=x(1);if y=0 % 0 表示国徽朝上，1 表示国徽朝下m=m+1;end end fprintf(国徽朝上的频率为：%fn,m/n);试验一：投掷硬币q 随机投掷骰子，验证各点出现的概率是否为 1/6 n=10000; m1=0; m2=0; m3=0; m4=0; m5=0;m6=0; for i=1:nx=randperm(6); y=x(1);switch ycase 1, m1=m1+1;case 2, m2=m2+1;case 3, m3=m3+1;case 4, m4=m4+1;case 5, m5=m5+1;otherwise, m6=m6+1;end end . % 输出结果试验二：投掷骰子q 用蒙特卡罗 ( Monte Carlo ) 投点法计算 的值 n=100000; a=2; m=0; for i=1:nx=rand(1)*a/2;y=rand(1)*a/2;if ( x2 + y2 = (a/2)2 )m=m+1;end end fprintf(计算出来的 pi 为：%fn,4*m/n);试验三：蒙特卡罗投点法q 在画有许多间距为 d 的等距平行线的白纸上，随 机投掷一根长为 l ( l d ) 的均匀直针，求针与平行 线相交的概率，并计算的 值试验四：蒲丰投针实验n=100000; l=0.5; d=1; m=0; for i=1:nalpha=rand(1)*pi;y=rand(1)*d/2;if y=l/2*sin(alpha)m=m+1;end end fprintf(针与平行线相交的频率为：%fn,m/n); fprintf(计算出来的 pi 为：%fn,2*n*l/(m*d);试验四源程序q 设某班有 m 个学生，则该班至少有两人同一天生 日的概率是多少？试验五：生日问题解：设一年为 365 天，且某一个学生的生日出现在一年 中的每一天都是等可能的，则班上任意两个学生的生日 都不相同的概率为：所以，至少有两个学生同一天生日的概率为：n=1000; p=0; m=50; % 设该班的人数为 50 for t=1:na=; q=0;for k=1:mb=randperm(365);a=a,b(1);endc=unique(a);if length(a)=length(c)p=p+1;end end fprintf(任两人不在同一天生日的频率为：%fn,p/n);试验五源程序clear; m = 50; p1= 1:365; p2= 1:365-m, 365*ones(1,m); p = p1./p2; p = 1- prod(p); fprintf(至少两人同一天生日的概率为：%fn,p);试验五的理论值计算q 彩票箱内有 m 张彩票，其中只有一张能中彩。 问 m 个人依次摸彩，第 k ( k m ) 个人中彩的概率 是多少？你能得出什么结论？第一个人中彩的概率为：推知第k个人中彩的概率为：第三个人中彩的概率为：第二个人中彩的概率为：试验六：摸彩问题n=10000; m=10; p=0; k=5; % 计算第 5 个人中彩的频率 for t=1:nx=randperm(m);y=x(1);if y=kp=p+1;end end fprintf(第 %d 个人中彩的频率为：%fn,p/n);试验六源程序u 教材 P 124：、3、4、5上机作业l 写入实验报告册。 l 在练习 5 的程序中加入输出语句，将结果输 出到指定文件。u 练习 2、6、7 作为思考题，不必写入实验报告