3.6空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置：设直线 过点 ，其方向矢量为直线 过点 ，其方向矢量为和 两直线共面的充要条件是： 和 三个矢量共 面 即：三矢量的混合积为0。1。相交：3。重合：2。平行：4。两直线异面的充要条件是：两直线的夹角：因此，在直角坐标糸中，即：两直线垂直的充要条件是：两异面直线的距离显然，两相交或重合直线的距离为零。两平行直线的距离 等于其中一直线上的任一点到另一直线的距离。与两异面直线都垂直相交的直线叫做两异面直线的公垂 线。两异面直线的距离就等于它们的公垂线夹于两异面 直线间线段的长。空间两直线上点的最短距离叫做两条直线之间的距离。因此，两异面直线之间的距离两直线的公垂线方程公垂线 可以看作由过点 ，以 为方位矢量 的平面及过点 ，以 为方位矢量的平面的交 线。因此，公垂线 的方程为：例1。求通过点P（1，1，1）且与两直线都相交的直线的方程。解：过 ， 过设所求直线的方向矢量为v=(X,Y,Z),由可得：X：Y：Z=0：1：2所求直线的方程为：则p例2。已知两直线（1）证明：两直线为异面直线；（2）求两直线间的距离；（3）求两直线的公垂线方程。解：（1）两直线异面（2）（3）将数据代入公垂线方程，即它也可表示为：这条公垂线的方程就是z轴。得习题讲解P。132 1。 解：X轴的方程为：（*）（1） 当 不全为0，且因此，方程（*）有唯一解，即x轴与已知直线相交。（2）当 且 不全为0，方程（* ）为矛盾方程，无解。因此，x轴与已知直线平行。（3）当 =0，方程（*）为恒等式 ，方程（*）有无穷多解。因此，x轴与已知直线重合。将它代入已知直线的方程，得：此时方程组 （*）中 只有一个独立方程。P。133 6。解：即 直线 通过原点O。P。133 9。（1）解：直线1：直线2：直线2过点N（0，-3，-4），其方向矢量设所求直线的方向矢量为v,因v/ ,所以v=8,7,1,它与直线1 的交点设为M（9，b，39）,注意到NM， 共面，因此解之，得因此，所求直线的方程为：MNvxyzoP。133 9。（2）解：设所求直线L与 的交点为P，它所对应的参数为 L与 的交点为Q，它所对应的参数为则交点P的坐标为：交点Q的坐标为：QP就是所求直线的方向矢量，即：解之，得：由此可求出直线L的方程。P.133 10过P（2，1，0）作平面垂直已知直线，其方程为：即：直线和平面的交点M可由联立方程：解出，MP为所求直线。所求直线方程为：其方向向量为：得：作业：P.132 2.(1); 3.(1),(3); 4; 5.(2);3.7空间直线与点的相关位置Ld v空间直线与点的相关位置：直线L：（1）点M在直线L上，即点M的坐标满足直线L的方程；求点M到直线L的距离：其中：v=X,Y,Z,（2）点M在不直线L上，即点M的坐标不满足直线L的方程；与点具体计算公式见P。1341习题讲解P。134 1。直线通过原点的条件是什么？解：作业：P。134 2。3。8平面束定义：有轴平面束空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴 平面束，并称L那条直线为平面束的轴。定理：如果两个平面其中 和 是不全为零的实数（证见P。135136）。交于一条直线L，在求解具体问题时，有轴平面束的方程常写成：那么，以L为轴的有轴平面束的方程是：平行平面束空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平 行平面束。（1）如果两个平面为平行平面，其中 和 是不全为零的实数,且（否则左端恒为零）（2）由平面所决定的平面束的方程是 其中 为任意实数。（这是常用的形式）那么，平行平面束的方程是：空间“有轴平面束”和“平行平面束”这两个概念，退化到 平面上，有“中心直线束”和“平行直线束”的概念：中心直线束： 如果给定了平面上的两条直线，若两直线相交，那么过交点的所有直线的集合叫做中心直 线束，那个点叫做直线束的中心。若两直线平行，所有与它们平行的直线的集合叫做平行直 线束，这些直线确定的方向叫做直线束的方向。方程当两直线相交时，表示中心直线束，其中 不全为零； 当两直线平行时，表示平行直线束，其中下例用“有轴平面束”概念来求解是非常方便的。例1：求通过直线L：且与平面相垂直的平面方程。解：过直线L的平面束方程为：即：由于所求平面与已知平面垂直，因此 即 取（1）代入（1），得P.139 4.解：L：过直线L的平面束方程为：即：由于点P（4，1，2）到所求平面的距离为d=3因此，解之，得因此，所求平面的方程是：P。139 8。直线方程L ：的糸数应满足什么条件才能使该直线在坐标平面xoz内 ？解：如果直线L在坐标面xoz内，那么：坐标面xoz 一定是在过直线L的平面束上。过L的平面束方程为：即：坐标面xoz的方程为：y=0即：所以，如果直线以对称式方程表示：那么，如前所述，两 直线共面的充要条件是 ：如直线以一般方程表示：我们将证明，两直线共 面的充要条件是：证明：通过直线 的任意平面可表示为：通过直线 的任意平面可表示为：要使两直线共面，就是说存在不全为零的实数 使上 面两个平面代表同一平面。经整理得到一个以 为变量的如P。138 所示的四元 一次线性方程组。注意到 不全为零，即要求四元一次线性方程组 有非零解，因此，糸数行列式必须为零，命题得证。也就是说，存在不等于零的实数m,使下列恒等式成立：作业 P。139 2；3；6