第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1 1页页1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法确定概率的频率方法确定概率的频率方法主要内容主要内容概率的公理化定义概率的公理化定义排列与组合公式排列与组合公式确定概率的古典方法确定概率的古典方法确定概率的几何方法确定概率的几何方法第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2 2页页直观定义 事件A 出现的可能性大小.统计定义 事件A 在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概 率.古典定义；几何定义.第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第3 3页页 非负性公理： P(A)0; 正则性公理： P()=1; 可列可加性公理：若A1, A2, , An 互不相容，则一、概率的公理化定义第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第4 4页页随机试验可大量重复进行.二、确定概率的频率方法进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数，称 为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.P16 例1.2.1 （1）频率依赖于试验，不确定；概率客观存在，不依赖于试验。第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第5 5页页试验1 要求1：计算机模拟10组抛均匀硬币试验，每组分 别抛11,，20次。统计每组试验出现正面的频 率。画出10组试验的结果散点图（i,f(i)），观察频 率的变化，并对结果予以分析。要求2：计算机模拟10组抛均匀硬币试验，每组分 别抛1000,2000，10000次。统计每组试验出 现正面的频率。画出10组试验的结果散点图（i,f(i) ），观察频率的变化，并对结果予以分析。其中i表示第i组试验，f(i)表示第i组试验对应的频率。第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第6 6页页 排列、组合：n个不同元素中任取r个，求取法数 . 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n!，0! = 1. 重复排列：nr 选排列：三、排列与组合公式第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第7 7页页组 合 组合： 重复组合： 关注的是每个元素被取到几次，所以可以考虑将 取出的元素分为n 堆，第i 个元素放到第i 堆，故 可将r个元素用n-1个挡板分为n堆，划分方法种 数是：第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第8 8页页加法原理完成某件事情有 n 类方法， 在第一类方法中有m1种方 法，在第二类方法中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 方法中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种 不同的方法.乘法原理完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种 方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方 法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第9 9页页若一个随机试验(,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性。样本空间的样本点只有为有限个。 即=1，2，n； (2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是相 等的，即 P(1)=P(2)=P(n)。 则称这类随机试验的数学模型为古典概型。则事件A的概率为:P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数四、 确定概率的古典方法第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1010页页 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),(正反反), (反正反), (反反正), (反反 反)此样本空间中的样本点等可能. 2=(三正), (二正一反), (二反一正), (三反 )此样本空间中的样本点不等可能. 注意：古典概型中，一定要保证样本点的等可能性第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1111页页例1.2.3 N 个产品，其中M个不合格品、NM个 合格品. (口袋中有M 个白球， NM 个黑球)常见模型(1) 不返回抽样从中不返回任取n 个, 则此 n 个中有 m 个不合格 品的概率为：此模型又称 超几何模型. n N, m M, nmNM.第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1212页页口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.思 考 题第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1313页页购买：从01，35 中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码. 彩票问题幸运35选7例1.2.5第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1414页页中奖规则1) 7个基本号码2) 6个基本号码 + 1个特殊号码3) 6个基本号码4) 5个基本号码 + 1个特殊号码5) 5个基本号码6) 4个基本号码 + 1个特殊号码7) 4个基本号码，或 3个基本号码 + 1个特殊 号码 第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1515页页中奖概率 中所含样本点个数：将35个号分成三类：7个基本号码、 1个特殊号码、 27个无用号码记 pi 为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1616页页中奖概率如下：不中奖的概率为：p0=1p1p2p3p4p5p6 p7第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1717页页例1.2.4 N 个产品，其中M个不合格品、 NM个合格品. 从中有返回地任取n 个. 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：常见模型(2) 返回抽样条件： m n , 即 m = 0, 1, 2, , n.第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1818页页例1.2.6 n 个不同球放入 N 个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n 个盒子中各有一球的概率(nN) 常见模型(3) 盒子模型第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第1919页页求n 个人中至少有两人生日相同的概率.看成 n 个球放入 N=365个盒子中. P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同) 用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相同)=生日问题p20=0.4058, p30=0.6963, p40=0.8820, p60=0.9922 第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2020页页补例1.2.1 六根草，头两两相接、尾两两相接 。求成环的概率.解：用乘法原则直接计算所求概率为第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2121页页n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻 而坐的概率.解：用捆绑法。 （1）n个人坐成一排，一共有n!种坐法。 （2）先将甲乙两人看做一人，则一共有n-1个人， 共有（n-1）！种坐法；然后两人再按顺序排好， 一共是2！种方法，所以甲乙相邻一共有 （n-1）！2！种坐法。所以概率为：补例1.2.2第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2222页页补例1.2.3 n 个人围一圆桌坐，求甲、乙两人 相邻而坐的概率. 解二：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A) = 2/(n-1)。解一：捆绑法得甲乙甲乙丙丙 n个人的圆桌排列 有 种方式(n-1)!第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2323页页练习：P30 3,4(3),5,6,10,11,12,15,17,19,20,21作业：1、将C,C,E,E,I,N,S这七个字母随机地排成一行，则 恰好排成SCIENCE的概率是多少？2、P30 22第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2424页页五、确定概率的几何方法几何概型若 可度量性可度量性。样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S； 等可能性等可能性。落在中的任一子区域A的概率 ，只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位 置无关则事件A的概率为: P(A)= SA /S第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2525页页例1.2.9 （蒲丰投针问题）平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l（d） 的针，求针与平行线相交的概率.解： 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，以表示针与此直线间的交角.易知样本空间满足：0 x d/2; 0 .形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S = d /2. P25例1.2.8；P27例1.2.10第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2626页页A = “针与平行线相交” 的充要条件是:x lsin /2.针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方 法求解得第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2727页页由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相 交的概率为: 2l/d.而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线 相交，则频率为: n/N.用频率代替概率得： 2lN/(dn).历史上有一些实验数据. 的随机模拟(MonteCarlo方法 )第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2828页页蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意 投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三 角形与平行线相交的概率 分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：1) 一个顶点在平行线上;2) 一条边与平行线重合;3) 两条边与平行线相交. 前两种情况出现的概率为零. 所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第2929页页解：记Pab,Pac,Pbc ,Pa,Pb,Pc分别为边 ab,ac,bc,a,b,c与平行线相交的概率，则所 求概率为p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc. 由蒲丰投针问题知 Pa=2a/(d), Pb=2b/(d), Pc=2c/(d).因为 Pa= Pab+Pac, Pb= Pab+Pbc, Pc= Pac+Pbc所以 Pa + Pb + Pc = 2(Pab+Pac+Pbc), 由此得 p =Pab+Pac+Pbc=(Pa + Pb + Pc)/2 =(a+b+c)/(d).第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第3030页页练习1：电台整点报时，某人表停，等待校表事件 不超过10min的概率是多少？练习2： P31 23，24，27思考1：不可能事件概率为0； （ ）概率为0的事件为不可能事件； （ ）必然事件概率为1； （ ）概率为1的事件为必然事件。 （ ）第一章 随机事件与概率山东轻工业学院第第3131页页思考2：若P(AB)=0,则（ ）A）A和B不相容 B）AB是不可能事件C）AB未必是不可能事件D)P(A)=0或P(B)=0作业：P31 26,28