热点专题突破系列(三)数列的综合应用考 点考 情 分 析等差数列与等比数列的综综合问题问题等差、等比数列相结结合的问题问题 是高考考查查的重点(1)综综合考查查等差数列与等比数列的定义义、通项项公式、前n项项和公式、等差(比)中项项、等差(比)的性质质(2)重点考查查基本量(即“知三求二”,解方程(组组)的计计算以及灵活运用等差、等比数列的性质简质简 化解决问题问题考 点考 情 分 析 数列与函 数的综综合 问题问题数列与函数的特殊关系,决定了数列与函数交汇汇命 题题的自然性,是高考命题题的易考点,主要考查查方式 有: (1)以函数为载为载 体,考查查函数解析式的求法,或者 利用函数解析式给给出数列的递递推关系、数列前n 项项和的计计算方法 (2)根据数列是一种特殊的函数这这一特点命题题,考 查查利用函数的单调单调 性来确定数列的单调单调 性、最值值 或解决某些恒成立问题问题考 点考 情 分 析 数列与不 等式的综综 合问题问题数列与不等式的综综合问题问题 是高考考查查的热热点.考 查查方式主要有三种: (1)判断数列问题问题 中的一些不等关系,如比较较数列 中的项项的大小关系等 (2)以数列为载为载 体,考查查不等式的恒成立问题问题 ,求 不等式中的参数的取值值范围围等 (3)考查查与数列问题问题 有关的不等式的证证明问题问题 数列的实实 际应际应 用问问 题题此类试题类试题 一般围绕围绕 着现实现实 生活中的人口的增长长 、产产量的增加、成本的降低、存贷贷款利息的计计算 、分期付款等客观观背景进进行设设置,它不仅仅涉及数 列中的基本知识识和方法,还还往往涉及其他学科的知 识识和常识识考点1 等差数列与等比数列的综综合问题问题 【典例1】(2014南昌模拟拟)已知an是单调递单调递 增的等差数列,首项项a1=3,前n项项和为为Sn,数列bn是等比数列,首项项b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20.(1)求an和bn的通项项公式.(2)令cn=Sncos(an)(nN*),求cn的前n项项和Tn.【解题视点】(1)利用“基本量法”,用首项和公差(比)表示已知等式,解得公差(比),再用通项公式求解.(2)用(1)的结论表示出cn,再分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求和.【规范解答】(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,则a2b2=(3+d)q=12,S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,则(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2=12,即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因为an是单调递增的等差数列,所以d0,所以d=3,q=2,an=3+(n-1)3=3n,bn=2n-1.(2)由(1)知cn=Sncos3n=当n是偶数时,Tn=c1+c2+c3+cn=-S1+S2-S3+S4-Sn-1+Sn=a2+a4+a6+an=6+12+18+3n=当n是奇数时,Tn=Tn-1-Sn= =- (n+1)2.综上可得,Tn=【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.【变变式训练训练 】(2014潍潍坊模拟拟)在等比数列an中,已知a1=3,公比q1,等差数列bn满满足b1=a1,b4=a2,b13=a3.(1)求数列an与bn的通项项公式.(2)记记cn=(-1)nbn+an,求数列cn的前n项项和Sn.【解析】(1)设等差数列bn的公差为d.由已知得:a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,q=3或q=1(舍去),所以此时d=2,所以an=3n,bn=2n+1.(2)由题意得:cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+cn=(-3+5)+(-7+9)+(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)+3+32+3n,当n为偶数时,Sn=当n为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+【加固训练训练 】在公差为为d(d0)的等差数列an和公比为为q的等比数列bn中,a2=b1=3,a5=b2,a14=b3.(1)求数列an和bn的通项项公式.(2)令cn=anbn,求数列cn的前n项项和Tn.【解析】(1)因为a2=b1=3,a5=b2,a14=b3,所以解之得 所以an=2n-1,bn=3n.(2)因为cn=anbn=(2n-1)3n.所以Tn=13+332+533+(2n-1)3n,所以3Tn=132+333+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1,所以-2Tn=3+232+233+23n-(2n-1)3n+1,所以-2Tn=3+2(32+33+3n)-(2n-1)3n+1=3+2 -(2n-1)3n+1,所以Tn=3+(n-1)3n+1.考点2 数列与函数的综综合问题问题 【典例2】已知函数f(x)=log2x-logx2(0an,所以an是递增数列.方法二:因为又因为anan,所以an是递增数列. 【规律方法】数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.解决数列与函数综合问题的注意点(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一群孤立的点.(2)转化以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题.(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.【变变式训练训练 】(2014中山模拟拟)已知f(x)= 数列an的前n项项和为为Sn,点Pn 在曲线线y=f(x)上(nN*),且a1=1,an0.(1)求数列an的通项项公式.(2)数列bn的前n项项和为为Tn,且满满足 +16n2-8n-3, b1=1,求数列bn的通项项公式.(3)求证证:【解析】(1)所以所以数列 是等差数列，首项为 =1，公差d=4.所以 =1+4(n-1)，所以所以(2)由得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),所以所以数列 是等差数列，首项为 =1,公差为1.所以 =n,所以Tn=4n2-3n,当n2时，bn=Tn-Tn-1=8n-7,b1=1也满足上式.所以bn=8n-7,nN*.(3)因为考点3 数列与不等式的综综合问题问题 【典例3】(2013广东东高考)设设数列an的前n项项和为为Sn,已知a1=1, =an+1- n2-n- ,nN*.(1)求a2的值值.(2)求数列an的通项项公式.(3)证证明:对对一切正整数n,有【解题视点】(1)将n=1代入已知等式中,化简求值.(2)根据通项与前n项和的关系,通过降低角标的方法导出an与an+1满足的递推关系,进而得到数列an的通项公式.(3)根据(2)的结果,放缩后求和,进而证得结论. 【规范解答】(1)因为a1=1,在 =an+1- n2-n- 中令n=1,可得a2=4.(2)由已知可得2Sn=nan+1- n3-n2- n,即2Sn=nan+1- 则当n2时,2Sn-1=(n-1)an- ,-可得2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),也就是(n+1)an=nan+1-n(n+1),同除以n(n+1)可得 =1,数列 是公差为1的等差数列,且 =1,所以 =n,an=n2,显然a1=1也满足an=n2,即所求通项公式为an=n2.(3)当n=1时, 结论成立;当n=2时, 结论成立;当n3时, 即对一切nN*, 成立. 【规律方法】数列中不等式的处理方法(1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.(2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.(3)比较方法:作差或者作商比较.(4)数学归纳法：使用数学归纳法进行证明【变式训练】(2014汕头模拟)已知数列an中，a1=1,an+1=(nN*).(1)求证：数列 为等差数列.(2)设 数列bnbn+2的前n项和Tn,求证：Tn【证明】(1)由an+1= 得： 所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列.(2)由(1)得： =1+2(n-1)=2n-1，由 得： =2n-1+1=2n,所以bn= ,从而：bnbn+2=则Tn=b1b3+b2b4+bnbn+2【加固训练训练 】(2014太原模拟拟)已知等差数列an的公差不为为零,且a3=5,a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项项公式.(2)若数列bn满满足b1+2b2+4b3+2n-1bn=an且数列bn的前n项项和为为Tn,试试比较较Tn与 的大小.【解析】(1)在等差数列an中,设公差为d(d0),所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.(2)b1+2b2+4b3+2n-1bn=an ,b1+2b2+4b3+2n-1bn+2nbn+1=an+1 ,-得:2nbn+1=2,所以bn+1=21-n,当n=1时,b1=a1=1,所以bn=当n=1时，T1=b1=1， =1，所以Tn=当n2时，Tn=1+4又2n=(1+1)n= n+1(n2)，所以所以当n=1时，Tn= ，当n2时，Tn考点4 数列的实际应实际应 用问题问题 【典例4】某公司一下属企业业从事某种高科技产产品的生产产.该该企业业第一年年初有资资金2000万元,将其投入生产产,到当年年底资资金增长长了50%.预计预计 以后每年资资金年增长长率与第一年的相同.公司要求企业业从第一年开始,每年年底上缴资缴资 金d万元,并将剩余资资金全部投入下一年生产产.设设第n年年底企业业上缴资缴资 金后的剩余资资金为为an万元.(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式.(2)若公司希望经过经过 m(m3)年使企业业的剩余资资金为为4000万元,试试确定企业业每年上缴资缴资 金d的值值(用m表示).【解题视点】(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额,再减去上缴的资金,就是剩余资金,即可求出a1,a2,以及建立an+1与an间的递推关系式.(2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数