下回停第一节 随机变量的数学期望一、数学期望的概念二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质四、应用实例一、数学期望的概念1. 问题的提出1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (ac), 另一赌徒胜b局(bc)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 数学期望A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定 先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?引例1 分赌本问题(产生背景)A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局:A AA B B AB BA胜B胜分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 因此, A 能“期望”得到的数目应为 而B 能“期望”得到的数目, 则为故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的可能性大小之比为 3:1.即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.则X 所取可能值为:其概率分别为:设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现 需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的 记录显示, 二人的技术水平如下:乙射手甲射手试问哪个射手技术较好?引例2 选拔运动员解运动员的水平是通过其平均水平来衡量的,故甲射手的技术比较好.因而甲、乙两射手的平均水平分别为甲射手乙射手引例3 加权平均成绩为该生各门课程的算术平均成绩.设某学生四年大学各门功课成绩分别为其学分分别为, 则称显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种而为该生的加权平均成绩., 可见加权平均才充分的体现了特例, 即平均值的意义.通过上述3个引例, 我们可以给出如下定义2. 离散型随机变量的数学期望若级数, 则称绝对收敛, 即级数的和为随机变量 X 的数学期望, 记为EX, 即定义3.1 设离散型随机变量 X的分布律为注1 EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值.注2 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,例1 (二项分布) 设随机变量XBn, p, 求EX. 解则有3. 常见离散型随机变量的数学期望其分布律为同时可得两点分布B1, p的数学期望为 p. np解则有例2 (泊松分布)因而泊松分布P的数学期望为 .设X , 且其分布律为设随机变量 X P(), 求EX.解这是因为例3 (几何分布)设随机变量X 的分布律为则有设随机变量X 服从几何分布, 求E(X).常见离散型分布的数学期望小结4. 连续型随机变量数学期望的定义定义3.2 设连续型随机变量X 的分布密度为则称积分的值为随机变量X 的即数学期望, px,记为EX, 即例4 (均匀分布 )解则有5. 常见连续型随机变量的数学期望设随机变量X服从均匀分布, 因而均匀分布数学期望位于区间的中点.求E(X).则有解例5 (正态分布) 设随机变量 , 求EX.设 , 其分布密度函数所以令因而参数 为正态分布的数学期望.例6 (指数分布)求EX.解解例7 (伽玛分布)当 1时, X服从指数分布Exp, 这时设随机变量X , 则密度函数为设随机变量X , 求EX.常见连续型分布的数学期望小结例8解但是6. 数学期望不存在的实例设离散型随机变量X的分布律为由于因而其数学期望EX不存在.求EX.二、随机变量函数的数学期望(一) 一维随机变量函数的数学期望1. 问题的提出XE(X)数学期望f是连续函数, f(X) 是随机 变量, 如: aX+b, X2等等.f(X)数学期望如何计算随机变量函数的数学期望?方法1 (定义法): f(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Ef(X).2. 一维随机变量函数数学期望的计算关键: 由X的分布求出f(X)的分布.见2.3节的相 关内容难点: 一般f(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布 .方法2 (公式法):定理3.1 设X是一个随机变量, Y f(X), 则当X为离散型时, P(Xxk) pk , (k 1,2,); 当X为连续型时, X的密度函数为p(x).求Ef(X)时, 只需 知道X的分布即可.证 现在只证明定理的特殊情形:设X的密度函数为函数 f 单调连续, x f 1y为其反函数, 并且可导, 同时 y , 则即例9 设某种商品的需求量X是服从10,30上 的均匀分布的随机变量, 而经销商店进货数量 为区间10, 30中的某一整数, 商店每销售一单 位商品可获利500元. 若供大于求则削价处理, 每处理1单位商品亏损100元; 若供不应求, 则 可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利 300元.为使商品所获利润期望值不少于9280 元, 试确定最少进货量.(考研试题)解 设进货量为a, 则利润为因此期望利润为因此即最少进货量为21单. 对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以由类似于定理3.1得到.1. 二维离散型情形(二) 二维随机变量函数的数学期望设X,Y为二维离散型随机变量, Z f X, Y为二元函数, 如果EZ存在,其中X, Y的联合概率分布为pij .2. 二维连续型情形设X,Y为二维连续型随机变量, Z f X, Y为 二元连续函数, 如果EZ存在, 则其中X,Y的联合概率密度为px, y.例 10 设X,Y的分布律为解 X的分布律为求EX, EY, 因为(X,Y)的分布律为Y的分布律为Y/X的分布律为计算可得 5.例11 设X N(0,1), Y N(0,1), X 与Y相互独立,解(作极坐标变换)三、数学期望的性质性质3.1 设C是常数, 则有ECC.证性质3.2 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有证性质3.3 设 X、Y 是两个随机变量, 则有证推广性质3.4 设 X、Y是相互独立的随机变量, 则有注 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机 变量数学期望的性质类似. 上述证明只证了一类.证例12解旅客有9个到达一个车站车站可以下车. 如没有旅客下车就不停车, 以X表示停车的次数, 求EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).引入随机变量Xi ,一民航送客车载有 25 位旅客自机场开出,解例13且X, Y, Z相互独立, 求随机变量W 2X+3Y4Z1的数学期望.设随机变量X N0,1, Y U0,1, ZB5,0.5,四、应用实例厂家的销售策略按规定: 出售的设备在售出的一年内损坏可予 以调换. 若出售一台设备赢利100元, 调换一台 设备厂方需花费300元. 求厂方出售一台设备净 赢利Y的数学期望.解 依题设, 有某设备寿命X(以年计)服从的指数分布.寿命不超过1年的概率 出售的设备在售出 一年之内调换的概率寿命超过1年的概率 不需调换的概率因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为.发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各 5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元; 四等奖100 个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单 位的创收利润.解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为 0.5(元). 每张彩票平均可赚 2 0.5 0.3 1.2(元).如何确定投资决策方向?某人现有10万元现金, 想投资于 某项目, 为期一年. 欲估成功的机会 为30%, 并可获利8万元, 失败的机会 为70%, 将损失2万元. 若存入银行, 同期间的利率为5%, 哪一种方案可 使投资的效益较大?解设X为投资利润, 则存入银行的利息: 故应选择投资.内容小结1. 数学期望是一个实数, 而非变量, 它是一种加权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.2. 数学期望的性质求证: 随机变量X没有数学期望.证 由定义, 数学期望应为由微积分学可知, 右边的级数发散 . 因此, 随机变量X 没有数学期望.设随机变量X的分布律为备用题 例 8-1解由于例8-2 (柯西分布) 设随机变量X服从柯西分布, 求EX.因X服从柯西分布, 则其密度函数为因而其数学期望E(X)不存在.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,例9-1解 已知X在0,60上服从均匀分布, 其密度为电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处, 且X在0,60上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望. （考研试题）设Y是游客等候电梯的时间(单位:分), 则因此 11.67解例 9-2 设随机变量X的分布密度函数为试求 . (考研试题)解例 9-3（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数若记真正卖报数为Y, 则Y与X的关系如下：X服从参数为的泊松分布. 如果每卖出一份报 可报酬a, 卖不掉而退回则每份赔偿b, 若某报童 买进n份报, 试求其期望所得. 进一步, 再求最佳 的卖报份数.因此期望所得为记所得为Z, 则Z与Y的关系如下:则Y的分布为当a, b, 给定后, 求n使Mn达到极大.利用软件包求得计算结果如下: