概率统计一. 连续型随机变量的概率密度若对于随机变量 X 的分布函数,存在非负 函数 f(x)，使得对于任意实数 x 有:则称 X 为连续型变量，f (x)为 X 的概率密度函数第四节 连续型随机变量及其概率密度1.定义注:连续型随机变量与离散型随机变量的区别离散型：连续型：Date北邮概率统计课件概率统计证 :让 “交” 往 方 向 “挤”证法1Date北邮概率统计课件概率统计证法2当时， 两边取极限：Date北邮概率统计课件概率统计这个结论的意义:2.由此可知连续型随机量X在某区间上取值的概率只 与区间长度有关,而与区间是闭,开,半开半闭无关, 即有:(不可能的事件的概率为0),但概率 为零的事不一定是不可能事件.1. 从积分的几何意义上说，当底边缩 为一点时,曲边梯形面积退化为零.Date北邮概率统计课件概率统计2. 概率密度函数的性质这两条性质是判定 一个函数 f(x)是否为某 随机变量X 的概率密度 函数的充要条件.f (x)xo面积为1性质1性质2Date北邮概率统计课件概率统计几何意义:性质3Date北邮概率统计课件概率统计物理意义 :性质4 若在点处连续，则有：故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于线密度，故称 f (x)为概率密度函数。Date北邮概率统计课件概率统计不计高阶 无穷小(相当于积分中值定理 ) 注：这表示落在区间 上的概率近似等于 ，称 为概率微分。 的值的大小直接影响关系到概率的大小，所以 的确描述了连续型随机变量的概率分布 的情况。Date北邮概率统计课件概率统计但要注意的是：密度函数f (x)在某点处 a 的高度，并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大，则 X 取 a 附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f (x)xo在连续型 随机型变量理论中所 的作用与 在离散型随机变量理 论中所起的作用相类 似Date北邮概率统计课件概率统计证明：函数是一个连续型随机变量的概率密度函数.一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即 可.例1.证明：(1). 显然,(2). Date北邮概率统计课件概率统计某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.例2.求: (1).Date北邮概率统计课件概率统计解:(1) (2) 50 到 150 小时 少于100小时(3)(1)(2)Date北邮概率统计课件概率统计一般称:则 称 X 为服从参数 的 指数分布.(3)若 X 具有概率密度:Date北邮概率统计课件概率统计f (x)确定了 分布函数F(x)， f (x)是F(x)的 导函数，F(x)是f (x)的一 个原函数 定义:二 . 连续型随机变量的分布函数若定义在上的可积函数满足：则称为连续型随机变量的分布函数注: 可以验证 F(x) 具备了分布函数的性质:F(x)是不减的函数； F(x) ， F(x)是 右连续的。Date北邮概率统计课件概率统计设有函数 F(x)F(x)能否成为某个连续随机变量 的分布函数.函数 F(x) 在 上下降，即 不满足性质(1).或者:故:F(x)不能是某个连续随机变量的分布函数.例3问:即不满足性质(2).解： 注意到:Date北邮概率统计课件概率统计解：它是一个变 上限的广义 分(2) (1) X的分布函数例4.(1)求:Date北邮概率统计课件概率统计综合上述得:(2).Date北邮概率统计课件概率统计解:求 : F(x)设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x)例5.当时, 当Date北邮概率统计课件概率统计即得所求的分布函数为:当时,Date北邮概率统计课件概率统计设随机变量X的分布函数为 (1)求X取值在区间 (0.3,0.7)的概率；(2) 求X的概率密度.(1) P(0.30，则 称 X 服从参数为 和 的正态分布. 其中:Date北邮概率统计课件概率统计(2). 正态分布 的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形 曲线，特点是“两头小，中间大，左右对称”Date北邮概率统计课件概率统计决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布 的图形特点Date北邮概率统计课件概率统计由密度函数的表达式，分析正态分布的图形特点即整个概率密度曲线都在 x 轴的上方.(3)显然:以为对称轴，并在 处达到最 大值:Date北邮概率统计课件概率统计令: x=+c, x=-c (c0)f (+c ) = f (-c)且 f (+c) f (), f (-c)f ()证明:分别代入 可得:以为对称轴，并在 处 达到最大值故得:这说明：曲线 f (x)向左右伸展时，越来越贴近 x轴。即 f (x)以 x 轴为渐近线。 因为当 x 时，f (x) 0f (x)以 x 轴为渐近线Date北邮概率统计课件概率统计(对 f (x)求导即可求得)为 f (x)的两个拐点的横坐标x = (4). 正态分布的分布函数由分布函数定义得出正态分布，若 则 分布函数是其图形为:Date北邮概率统计课件概率统计Date北邮概率统计课件概率统计正态分布由它的两个参数和唯一确定， 当 和不同时，对应的是不同的正态分布。标准正态分布下面介绍一种最重要的正态分布(5).标准正态分布其密度函数和分布函数常用 和 表示：的正态分布为标准正态分布.称其图形为:Date北邮概率统计课件概率统计密度函数分布函数Date北邮概率统计课件概率统计(一般正态分布与标准正态分布的关系)引理:证明:作一个线 性变换标准正态分布的重要性任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.Date北邮概率统计课件概率统计由此可得: 若即证得：则其分布函数注：根据引理，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一 般正态分布的概率计算问题。而现已编制了 的表，可供查用 。请见教材P439附表2Date北邮概率统计课件概率统计教材P439附表2为标准正态分布函数数值表，借助于 附表2 ，可以查表计算一般正态分布的概率问题。关于正态分布表表中给出的是 时, (x)的值.当 时有：Date北邮概率统计课件概率统计 N(0,1) 注：若 XN (0,1),则有：若则有：对任意区间则有：Date北邮概率统计课件概率统计由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明：X 的取值几乎全部集中在 -3, 3 区间内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%当XN(0,1)时，P( |X| 1) = 2 (1)- 1 = 0.6826 P( |X| 2) = 2 (2)- 1 = 0.9544P( |X| 3) = 2 (3)- 1 = 0.9974(6) 3原则Date北邮概率统计课件概率统计将上述结论推广到一般的正态分布,有： 时，可以认为：Y 的取值几乎全部集中在 区间内。这在统计学上称作“3 准则”（三倍标准差原则）Date北邮概率统计课件概率统计下图是用某大学男大学生的身高的数据画出 的频率直方图:红线 是拟 合的 正态 密度 曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。Date北邮概率统计课件概率统计人的身高高低不等，但中等身材的占大多数， 特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人 数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分 布的随机变量的特点。Date北邮概率统计课件概率统计除了前面介绍的身高外,在正常条件下年降雨量； 各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强 度和张力；农作物的产量，如小麦的穗长、株高 ；测量误差，如射击目标的水平或垂直偏差；信 号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.Date北邮概率统计课件概率统计已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正态分布,如果规定零件的长度在毫米之间为合格品. 求:生产零件是合格品的概率 解:例1.所求的概率为：查附表2 Date北邮概率统计课件概率统计例2. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程断，交通拥挤)所需时间(分钟)沿 B 路走（路程长，阻塞少)所需时间(分钟) 若现在只有 30分钟.问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: A 路:Date北邮概率统计课件概率统计B 路:结论：此时应选择A路液体的温度X (以计)是一个随机变量，且将一温度调节器放置在贮存着某种液体的 容器内，调节器调整在例3.(1) 若, 求 X 小于89的概率 .(2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问 d 至少为多少?Date北邮概率统计课件概率统计解:(2) 按题意需求d满足:Date北邮概率统计课件概率统计反查正态分布表，由于表中无0.01的的值故采用如下方法处理:查表可知:由此可得:故得：现Date北邮概率统计课件概率统计公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头 碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X N(170,62)设车门高度为 h cmP(X h)0.01或 P(X h) 0.99，的最小的 h例4. 问：应如何确定车门高度解: 按设计要求即求满足：Date北邮概率统计课件概率统计因为:XN(170,62),故: 查表得:所以: 即: h = 170 + 13.98 184结论: 设计车门 高度为 184 厘米 时，可使男子与 车门碰头机会不 超过0.01.P(X h ) 0.99求满足的最小的 h .所以:Date北邮概率统计课件概率统计1. 定义 则 称点 为标准正态分布的上 分位点.2. 图形:面 积 为四. 关于 分位点的概念0以 点右侧面积总和 它就是所有比 大的概率.单侧 分位点Date北邮概率统计课件概率统计注:比如 :反过来可以验证:用整块面积减去点 以后的那块面积 附表2上可查的从 到 的那块面积从正态分布表上如何求 的值: 对于给定的则: 点概率所对应的值又比如:Date北邮概率统计课件概率统计( 同样可以验证:则称 为标准正态分布的双侧 分位点.图形:两小面积相加 之和 =又比如:3. 双侧 分位点的定义若0Date北邮概率统计课件概率统计比如:注意: 在后续的统计学中还将介绍分布, 分布,分布的上 分位点的概念Date北邮概率统计课件