燕山大学Yanshan University第2章 单自由度线性系统的自由振动振动：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的 往复性机械运动。 自由振动：系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度) 的激励而引起的振动。 强迫振动：系统在持续外力激励下的振动。 燕山大学Yanshan University组成振动系统的理想元件： 质量元件质块 弹性元件弹簧 阻尼元件阻尼器 2.1 振动系统的理想元件图示单自由度系统： m表示质块 c表示阻尼器 k表示弹簧燕山大学Yanshan University2.1.1 弹簧弹簧的性质：弹簧在外力作用下的响 应为其端点产生一定的位移。 假设与说明： (1)一般假设弹簧无质量实际物理系统中的弹簧是有质量的。若弹簧质量相对较小，则 可忽略不计;若弹簧质量相对较大，则需考虑弹簧质量; (2)假设为线性弹簧工程实际中，多数振动系统的振幅不会超出弹簧的线性范围。 (3)假设弹簧不消耗能量，只以势能方式贮存能量 弹簧所受外力Fs是位移x的函数： Fs = f(x) 式中：Fs弹簧的弹性恢复力，和外力方向相反。 线性弹簧： Fs = kx ，k为弹簧刚度系数，N/m。燕山大学Yanshan University弹簧刚度系数：使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩 。同一弹性元件，根据所要研究振 动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。以一端固定的等直圆杆为例加以 说明，如图所示。等效刚度系数燕山大学Yanshan University当确定沿x方向的刚度时，在B处沿x方向加一垂 直力F。B点在x方向的刚度系数为根据材料力学知，B点在x方向 的位移为燕山大学Yanshan University当确定沿y方向的刚度时，在B点沿y方向加一横向力P。杆作弯曲变形，根据材料力学知 ，B点沿y方向的位移B点沿y方向的刚度系数为燕山大学Yanshan University杆件作转扭，产生扭角，根据 材料力学知，B点沿x轴的扭角为当确定绕x轴的转动方向的刚度，需要在B端绕x轴 转动方向加一扭矩M。B点绕x轴转动方向的刚度系数为燕山大学Yanshan University弹簧串并联与等效弹簧在机械结构中，弹性元件往往具 有比较复杂的组合形式。例如：并 联弹簧、串联弹簧。为简化分析，可以用一个“等 效弹簧”代替整个组合弹簧。简化原则：等效弹簧的刚度与组合弹簧的刚度相等，等效弹簧刚 度记为keq。 等效弹簧：对于复杂组合形式的弹 性元件，用一个与其具有相同刚度 的弹簧来代替，则该弹簧为等效弹 簧。 燕山大学Yanshan University并联弹簧的等效刚度设弹簧k1、k2所受到的力分别为Fs1、Fs2，则有：Fs1= k1 (x2-x1) Fs2= k2 (x2-x1) 总作用力Fs是Fs1与Fs2之和：Fs=Fs1+Fs2=（k1+ k2）(x2-x1)= keq(x2-x1) 则： keq=k1+ k2 对于n个刚度分别为ki (il,2, n)的并联弹簧系统，等效刚度： 结论：并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和。并联弹簧比各组成弹簧都要硬。 燕山大学Yanshan University串联弹簧的等效刚度串联弹簧上各点的作用力Fs相等： Fs= k1 (x0-x1) Fs= k2 (x2-x0) 将以上两式联立，消去x0，得到： 对于n个刚度分别为ki (il,2, n)的串联弹簧系统，等效刚度： 结论：串联弹簧等效刚度的倒数等于各弹簧刚度的倒数之和。串联弹簧等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹 簧较其任何一个组成弹簧都要“软”燕山大学Yanshan University弹簧串并联等效刚度实例例1 求图示系统的等效弹簧刚度。 解： 图中，弹簧刚度分别为k1和k2； 质量m1、 m2通过刚性杆相连，相当于一个质块。是并联弹簧，还是串联弹簧？ 并联弹簧的特点：各弹簧变形相同，即共位移。 串联弹簧的特点：各弹簧受力相同，即共力。图中，弹簧k1、k2是“共位移”的，为并联弹簧。 系统的等效刚度：keq=k1+ k2 是并联弹簧 ？还是串联 弹簧？燕山大学Yanshan University弹簧串并联等效刚度实例例2 确定图示混联弹簧的等效刚度。解： k1、k2为并联，再与k3串联： 燕山大学Yanshan University例3 求图示振动系统的等效弹簧刚度。串联弹簧弹簧串并联等效刚度实例燕山大学Yanshan University例4 求等效弹簧刚度。弹簧串并联等效刚度实例燕山大学Yanshan University例5 求图示振动系统的等效弹簧刚度。弹簧串并联等效刚度实例燕山大学Yanshan University2.1.2 阻尼器阻尼器的性质：阻尼器在外力作用下的 响应为其端点产生一定的运动速度。 假设与说明： (1)假设阻尼器的质量忽略不计。 (2)阻尼器消耗能量，以热能、声能等方式耗散系统的机械能。 阻尼器所产生的阻尼力Fd是速度的函数：阻尼力的方向和速度方向相反。线性阻尼器（粘性阻尼）：阻尼力Fd是振动速度线性函数的阻尼器 。即： ，c为阻尼系数，Nsm。 燕山大学Yanshan University非线性阻尼器：除线性阻尼以外的各种阻尼(1)库仑阻尼,亦称干摩擦阻尼在振动过程中，质块与平面之间产生库 仑摩擦力Fc。库仑摩擦力为常数，方向与质块运动速度方向相反。(2)流体阻尼：当物体以较大速度在粘性较小的流体中运动时， 由流体介质所产生的阻尼。 流体阻尼力FL与速度平方成正比，方向与运动速度方向相反。燕山大学Yanshan University(3)结构阻尼材料阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼。 滑移阻尼：结构各部件连接面之间相对滑动而产生的阻尼。 结构阻尼：材料阻尼与滑移阻尼统称为结构阻尼。试验表明，对材料反复加载和卸载，其应力应变曲线成一个 滞后曲线。曲线所围图形面积的物理意义：一个循环 中，单位体积材料所消耗的能量。这部分 能量以热能形式耗散掉，从而对结构振动 产生阻尼。试验表明，多数金属结构的材料阻力在 一个周期内所稍耗的能量Es与振幅的平方成正比： 燕山大学Yanshan University2.1.3 质块质块的性质：质块在外力作用下的响应 为其端点产生一定的加速度。 假设：质块为刚体，不消耗能量。根据牛顿定理，力F m与加速度成正比： 燕山大学Yanshan University如图所示的单自由度弹簧质量振动系统，质块m受到外界激励力F(t)的作用。 2.2 单自由度线性振动系统的运动微分方程取质块m取脱离体，质块m受力如图所示。x(t)质块位移，静平衡位置为位移起点； Fs(t)作用在质块上的弹簧力； Fd(t)作用在质块上的阻尼力。 根据牛顿第二定律，得： 单自由度线性系统运动微分方程： 燕山大学Yanshan University运动微分方程的特点及所解决的问题运动微分方程的特点： (1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程； (2)方程左边完全由系统参数m、c与k所决定，反映了振动系统本身的固有特性； (3)方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。 由运动微分方程所要解决的问题： (1)由m、c、k所决定系统的固有特性； (2)在激励F(t)作用下，系统会具有什么样的响应，即x(t)=？燕山大学Yanshan University当弹簧与阻尼器水平放置时，无重力影响。 系统静平衡位置与弹簧未伸长时的位置一致。静位移对系统运动微分方程的影响弹簧和阻尼器垂直放置 如图。运动微分方程： 弹簧末变形时质块的位置与静 平衡时质块的位置不同 弹簧静变形量：st=mg/k 取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标 正方向， 运动微分方程为：st=mg/k结论：在线性系统的振动分析中，可以忽略 作用于系统上的恒力及其引起的静态位移。 燕山大学Yanshan University自由振动：当F(t)=0时，系统所产生的振动。 无阻尼自由振动：当F(t)0、 c 0时，系统所产生的振动。2.3 单自由度线性系统的无阻尼自由振动单自由度系统的运动微分方程： 无阻尼自由振动微分方程：设：运动微分方程的通解： 式中，A1、A2待定系数；A、 待定系数；A、待定系数。由初始条件确定！燕山大学Yanshan University无阻尼自由振动：x(t)振动的角 频率为n。 1、固有角频率无阻尼自由振动的固 有角频率，rad/s。2、固角频率与振动周期 固有频率fn：系统每秒钟振动的次数，Hz或1s。 振动周期T：系统振动一次所需的时间，s。 燕山大学Yanshan University3、振幅与初相角运动微分方程：初始条件：燕山大学Yanshan University(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。 (2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、 振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件 无关。 (3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。 结论：燕山大学Yanshan University燕山大学Yanshan University简谐振动矢量A与垂直轴x的夹角为nt-，A在x轴上的投影 就表示解x(t)=Acos(nt-) 。当nt-角随时间增大时， 意味着矢量A以角速度n按逆时针方向转动，其投影呈 谐波变化。 燕山大学Yanshan University2.4 无阻尼自由振动固有频率的求解方法求无阻尼自由振动固有频率的方法：(1)运动微分方程方法;(2)静变形方法; (3)能量法。燕山大学Yanshan University微幅振动时，sin，上式简化为：解：取为广义坐标，运动微分方程为：例1 绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤(直杆重量和锤的体积 忽略不计)，组成单摆。杆长为l，摆锤质量m，求摆振动的固有频率。 固有频率：2.4.1 根据运动微分方程求固有频率运动微分方程：固有频率：燕山大学Yanshan University解：取为广义坐标。例2 质量为M、半径为r的均质圆柱体在半径为R的圆柱面内作无滑动滚动，如图所示。 (1)取为广义坐标，应用Lagrange方程建立系统运动微分方程； (2)若系统做微幅振动，将运动微分方程线性化，并求固有频率。 (1)系统动能因：(2)系统势能 取圆柱体在铅垂线位置时质心所在位 置为势能零点。燕山大学Yanshan University(3)Lagrange函数(4)运动微分方程(5)微幅振动微分方程固有频率:燕山大学Yanshan University2.4.2 根据弹簧静变形计算固有频率燕山大学Yanshan University例3 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量不计，自由 端附有重为P=mg的物体，如图所示。试写出物体的振动微分方程，并求出频率。解：由材料力学知，在 物体重力作用下，梁自 由端静挠度为:固有频率为:燕山大学Yanshan University对于能量无耗散的振动系统，自由振动时系统的机械能守恒。对时间求导，得两个特殊位置：静平衡位置、最大位移位置。 静平衡位置：系统势能等于零，动能达到最大值Tmax。 最大位移位置：系统动能等于零，势能达到最大值Vmax。 求系统运动 微分方程求固有频率2.4.3 应用能量法计算固有频率无阻尼自由振动对初始条件的响应： 最大位移（振幅）与最大速度 ： 最大动能与最大势能 ： 固有频率 ： 燕山大学Yanshan University例4 质量为m，半径为r的实心圆柱体，在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动。求圆柱体绕平衡位置作微小振动时的固有频率n。解：取为广义坐标。最大动能:简谐振动时最大势能:由TmaxUmax得:燕山大学Yanshan University例5 如图，摆轮2上铰接摇杆1，不计摇杆质量。摇杆1的另一端装 有质量m，在摇杆上联结刚度为k的两个弹簧以保持摆在垂直方向的 稳定位置。系统对0点的