2正变换静系S到动系S的变换逆变换伽利略变换是洛仑兹变换低速下 的极限情形3【例 】水平隧道AB长L0，一列火车AB静长长 L = 2L0。 今使火车车如图图所示，以匀速v驰驰入隧道，地面系中观 察到A与A相遇时恰好B与B相遇。试试根据洛仑兹变仑兹变 换计换计 算v值值，并在列车车系中计计算从A与A相遇到B与 B相遇之间间的时间间时间间 隔t。【解】地面参考系S，火车 参考系S, 以A与B相遇的 时刻为t = t = 0时刻，以A 与B相遇的位置为S与S的 原点。洛仑兹变换车头：车尾：在 A与 A相遇的时刻 t，4上述两事件代 入洛仑兹变换 （1）式S系观察者测 量A与A相遇 的时刻tA 对应S系观察者测 量B与B相遇 的时刻tB 对应S系中从A与A相 遇到B与B相遇 之间的时间间隔5三. 相对论运动学伽利略变换下的速度变换 公式，在相对论中不再成 立。将洛伦兹变换公式 两边取微分在参考系S中，速 度定义为1. 速度变换6相对论速度变换相对论速度逆变换7若物体相对一个参考系的运动速度小 于c，即则相对于任意参考系，它的速 度都小于c。在任何参考系中光速不变速度空间的几何学89取=p/2, 则：由对称性， 又有：双曲几何 ！10飞船乙飞船乙【例例】 两艘飞船以相同速率两艘飞船以相同速率0.5c0.5c 反向而行。求两者反向而行。求两者 的相对速率。的相对速率。S S系：地面系：地面 S S系：飞船甲系：飞船甲【例】匀速运动介质中的光速（在固定系观察）斐索水流实验验证沿介质运动方向：逆介质运动方向：【解】以地面为S系， 水为S系【例】不同参考系中光线角度的变化：光行差n 恒星的表观位置（方向）以年为周期发生变化地球运动方向背离观测方向时，方向变高（仰起 ） 地球运动方向迎向观测方向时，方向变低（俯下 ）光行差现象【例例】 三个惯性系之间的变换三个惯性系之间的变换速度不可简单相加速度不可简单相加154. 加速度变换在参考系S中 ，加速度定义 为相对论加速 度变换16相对论加速 度逆变换17相对论中，只有加速度为零时才是惯性系不变的加速度变换的三个特征：因此，经典力学中牛顿第二定律需要修正。18二、相对论动力学1. 概述l根据狭义相对性原理，物理定律应在洛伦兹变换 下具有不变性l麦克斯韦方程组具有洛伦兹变换不变性 l在高速情况下，动量守恒、能量守恒以及质量守 恒仍然成立l在不同的惯性系中，同一个质点的加速度不再是 不变量。 l经典力学的基本定律牛顿第二定律需要修正192. 动质量公式静系中：动系中：设在相对论中，质量与时间、长度一样，与 惯性系的选择有关。理想实验：全同粒子的完全非弹性碰撞固接于粒子A的S系固接于粒子B的S系在两坐标系中，粒子系统质量守恒、动量守恒。 固定于粒子A的 S系质量守恒：动量守恒：解得：质量守恒：动量守恒：固定于粒子B的S系代入洛仑兹速度变换 ：得质速关系：满足对应原理的要求 ：22物体的质量m与其静止质量m0和速度v的关系233. 牛顿三定律的修正在洛仑兹变换下，加速度不等于零时不再是不变量， 质量依赖于速度，力必然也不再是惯性系不变的。在狭义相对论中，牛顿第一定律仍然成立， 牛顿第二定律需要修正，牛顿第三定律也不再成立。重新定义质点的动量重新定义力相对论力学的基本定律为24相对论力学的基本定律质点动量定理质点动能定理【例】 观察者甲以 0.8c 速率相对于观察者乙运动， 甲携带长 L，截面积 S，质量为 m 的棒，棒沿运动方 向安放，求乙和甲测定的棒的密度之比。【解】棒相对于甲静止，甲测定的密度为： 棒相对于乙运动，设乙测定的 质量为 m ， 长度为 L，截面积为 S，有：乙测定的密度为：264. 质能关系将质速关系按幂级数展开，得两边同乘以c2得总能量静能量相对论动能质能关系27当 v c 时，相对论动能公式285.能量与质量一定的质量m对应一定的能量mc2 一定的能量E对应一定的质量E/c2质量守恒定律能量守恒定律质能守恒定律物体的质量和能量是紧密联系在一起的力学中两个独立的守恒定律在狭义相对论中统一为 质能守恒定律29l 质量亏损：各种原子核的质量都小于组成该核的相 同数目的核子质子和中子）的质量。l 早在20世纪20年代，人们用质谱仪测定了各种 核同位素的质量。30重核裂变1kg的235U核裂变，释放能量81013J，相当于燃烧 27000吨优质煤31轻核聚变聚变反应是恒星发射巨大能量的来源SOHOs Extreme ultraviolet Imaging Telescope. 326. 能量动量关系在狭义相对论中动 量的定义仍为能量对于静止质量为零的粒子静止质量为零的粒子永远以光速 c 运动满足对应原理讨论 ：当 时小结相对论动力学的三个主要关系动能总能静能能量与动量的关系：质能关系 ：质速关系 ：【例】在S参照系中有两个静止质量均为m0的粒子A 、B 。分别以相同的速度v 相向运动，相撞后合在 一起成为一个静止质量为M 0的粒子。求M0 【解】设合成粒子质量M、速度v 据动量守恒据能量守恒：【例】一个静质量为m0的粒子，以v=0.8c的速率运动 ，并与静质量为3 m0的静止粒子发生对心碰撞以后粘 在一起，求合成粒子的静止质量。代入(2) 式得【解】设合成粒子的运动质量为M，速率为为u， 由动量守恒和能量守恒：由于再代入(1) 式得又由【例】两个静质量相同的粒子，一个处于静止状态 ，另一个的总能量为其静能的4倍，当此两粒子发 生碰撞粘合在一起，成为一个复合粒子，试求复 合粒子的静质量和碰前单个粒子的质量比。【解】对于单个粒子， 由对于复合粒子， 由【例】一个以0.8c的速度沿X轴方向运动的粒子衰变 成两个静止质量同为m0的粒子，其中一个粒子以 0.6c的速度沿-Y方向运动， 若衰变前粒子的静止 质量为M0， 求： （1）另一个粒子运动速度和方向； （2）比值m0/M0【解】原粒子动质量为：衰变后沿-y方向运动粒子的 动质量为：衰变后另一粒子的动质量为：由质量守恒， 有x,y方向的 动量守恒（1）两式平方后求和， 得：（2）两式相除后， 得：【例】在海拔100km的地球大气层中产生了一个静 能为140MeV的p+介子， 这个p+介子的总能量为 E=1.5 105MeV，竖直向下运动，按它自己参考系 测定，它在产生后2 10-8s衰变，问它在海平面以 上多大的高度发生衰变？【解 】 在p+参考系中经历Dt= 2 10-8s, 在地球参考系中 经历时间为Dt,【例】设有一个处于激发态的原子以速度v运动， 当其发射一个能量为E的光子后返回至基态。并 使原子处于静止状态，此时原子的静质量为m0,已 知激发态比基态能量高E0,求E.【解】设处于激发态的原子的静质量为m0动量守恒由能量守恒 解得：48【例】 静质量为m0的质点静止于x = 0点，t = 0开始在一 个沿x轴方向的恒力F作用下运动。试求： （1）质点速度u和加速度a随位置x的变化关系； （2）质点速度u和加速度a及位置x随时间t的变化关系 。 质点动能定理引入常量两边对时间求导49质点动量定理两边对时间求导在加速过程中，质点质量越来越大，趋于无穷 ，加速度便趋于零如果50【例】 质点A、B静质量同为m0，今使B在惯性系S中静 止，A则以3c/5的速度对准B运动。若A、B碰撞过程 中无能量释放，且碰后粘连在一起，试求碰后相对S 系的运动速度v及系统动能减少量。碰前A的质量无能量损失，质量守恒， 碰后质量为碰撞过程动量守恒51系统动能减少量等于系统静能增加量碰后粘连体的静质量52【例】 太空火箭（包括燃料）的初始质量为M0，从静 止起飞飞，向后喷喷出的气体相对对火箭的速度u为为常量 ，任意时时刻火箭相对对地球速度为为v时时火箭的瞬时时静 止质质量记为记为 m0。忽略地球引力影响，试试求比值值 m0/M0与速度v之间间的关系。火箭的质量为m时，速度为v向后喷出的气体相对地球的速度系统m分为m + dm和 dm（隐含了能量守恒）解法一：采用运动质量53动量守恒略去二阶小量54火箭的质量为m时，速度为v向后喷出的气体相对地球的速度系统m0分为m0 + d m0和 dm0（静止能量转化为动 能）【解法二】采用静止质量能量守恒动量守恒（1）（2）（1）式代入（2）式，略去二阶、三阶小量55【解法三】采用相对火箭静止的参考系在相对火箭静止的参考系中在地面参考系中代入动量守恒方程动量守恒X 射线是由一些能量为 =h 的光子组成，并且这些光子与自 由电子发生完全弹性碰撞，康普顿效应在轻原子中，原子核对电 子的束缚较弱，可以把电子 看作是静止的自由电子。 碰撞前：光子能量为ho，动量为ho/c；电子的能量 为moc2，动量为零。碰撞后：光子散射角为，光子能量为h，动量为 h/c；电子飞出的方向与入射光子的夹角为，它的能量为 ，动量为 。碰撞过程能量守恒动量守恒联立以上三式，可以解得：其中：为康普顿波长散射波长改变量 ：康普顿效应中，发生波长改变的原因是：当一个 光子与散射物质中的一个自由电子碰撞后，光子将沿 某一方向散射，同时电子获得一部分能量，使散射的 光子能量减小，频率减小，波长变长。.散射波长改变量 的数量级为 10-12m，对于可见 光波长 10-7m，所以观察不到康普顿效应 。.散射光中有与入射光相同的波长的射线，是由于光 子与原子碰撞，原子质量很大，光子碰撞后，能量不 变，散射光频率不变。.在重原子中，内层电子比轻原子多，而内层电子束 缚很紧，所以原子量大的物质，康普顿效应比原子量 小的弱。.当 =0 时，光子频率保持不变； = 时，光子频 率减小最多。康普顿散射进一步证实了光子理论的正确性，还证明了 在微观领域中也是严格遵守能量、动量守恒定律。【例】2010年北京正负电子对撞机升级改造完满成 功，可以产生正电子和负电子用于对撞实验。 升级 后在实验室正中电子能量最高可达到2.5GeV。每束 包含1010个粒子，并且可看成在实验室中半径为1mm ，长度为2mm的均匀圆柱。 （1）对于同粒子束一起运动的观察者，它的长度和半径为多 少？ （2）对于实验室观察者及随粒子一起运动的观察者，两束粒 子相互穿过，各需多长时间？ （3）在实验室中测量两束粒子重叠时的半径r与磁场强度B的 关系， 若半径为1mm时，B为多大？ （4）估算在实验室中束流表面电子在相互穿过时偏转的角度 。 （5）对撞能量是多少？如果改为打固定靶，达到与对撞相同 的能量， 电子需加速到多高的能量？【解】（1）用S系和S系分别代表实验室系和 电子系。电子在S系中的g因子为：相对S系来说， 电子束长度被压缩为：S系束流原长为：在垂直方向没有压缩， 故束流半径不变！对迎面而来的正电子系， 在S系中的速度为-b正电子相对于电子参考系S的速度为正电子束相对于电子参考系S的长度为（2）对实验室S系的观察者，每个粒子的速度为两束粒子相互穿过的时间为：对同粒子一起运动的观察着，迎面来的粒子速度为（3）设电子束长度、半径、粒子数和电荷分别为l, r0, N,r根据安培环路定理r=r0=1mm时（4）两粒子相互穿过时， 由洛伦茨力和穿过 时间可以得到冲量，引起横向动量改变相互穿过偏转的角 度为（5）两相同质量粒子碰撞，由于对实验室系对于不动的靶， 粒子的能量为m0c2, 动量为 零，另一个粒子的能量为E，动量为p， 系 统的总能量为：总动量为p由粒子的能量动量关系两式消去p，得：粒子的动能为：四维动量守恒按洛仑茨变换不变的模方为对于一个核反应过程动量和能量守恒为 ：两边可以是不同的惯性系 ！【例】一个粒子衰变成粒子，求衰变