小学奥数难题汇编 50 道精选 (四) （31-40）31.牛吃草有三块草地，面积分别是 5，15，24 亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天，问第三块地可供多少头牛吃 80 天？【解析】这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。把每头牛每天吃的草看作 1 份。因为第一块草地 5 亩面积原有草量5 亩面积 30 天长的草1030300 份所以每亩面积原有草量和每亩面积 30 天长的草是 300560 份因为第二块草地 15 亩面积原有草量15 亩面积 45 天长的草28451260 份所以每亩面积原有草量和每亩面积 45 天长的草是 12601584 份所以 453015 天，每亩面积长 846024 份所以，每亩面积每天长 24151.6 份所以，每亩原有草量 60301.612 份第三块地面积是 24 亩，所以每天要长 1.62438.4 份，原有草就有 2412288 份新生长的每天就要用 38.4 头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃 80 天，因此288803.6 头牛所以，一共需要 38.43.642 头牛来吃。两种解法：解法一：设每头牛每天的吃草量为 1，则每亩 30 天的总草量为：10*30/5=60；每亩 45 天的总草量为：28*45/15=84 那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6 每亩原有草量为 60-1.6*30=12，那么24 亩原有草量为 12*24=288，24 亩 80 天新长草量为 24*1.6*80=3072，24 亩 80 天共有草量3072+288=3360，所有 3360/80=42(头)。解法二：10 头牛 30 天吃 5 亩可推出 30 头牛 30 天吃 15 亩，根据 28 头牛 45 天吃 15 木，可以推出 15 亩每天新长草量(28*45-30*30)/(45-30)=24；15 亩原有草量：1260-24*45=180；15 亩 80 天所需牛180/80+24(头)24 亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42 头。32.慢车的车速是多少有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人这三辆车分别用 3 分钟，5 分钟，8 分钟分别追上骑车人已知快速车每小时 54 千米，中车速每小时 396 千米，那么慢车的车速是多少（假设骑车人的速度不变）？分析 根据题意先画出线段图，如图 5-2从图 5-2 可以看出，要求慢车的车速，只要求出慢车行 8 分钟的路程.慢车 8 分钟的路程等于路程 ab 加上路程 beab 表示三车出发时骑车人已骑出的一段距离，这段距离用快车行 3 分钟的路程 ac 减去骑车人行 3 分钟的路程 bc 得到，骑车人 3 分钟行的路程是多少，关键求出骑车人的速度，由图中可以看出，中速车行 5 分钟的路程 ad 减去快车行 3 分钟的路程 ac 恰好为路程 cd，路程 cd 是骑车人 5-3=2 分钟行的路程，于是求出了骑车人的速度be 表示骑车人 8 分钟行的路程，也就容易求出，这样慢车的速度便可以迎刃而解了解：快车速度 54 千米小时=900 米分钟中速车速度 396 千米小时=660 米分钟（1）骑车人的速度（6605-9003）（5-3）=300（米分钟）（2）三车出发时骑车人距三车出发地的距离9003-3003=1800（米）（3）慢车 8 分钟行的路程1800+3008=4200（米）（4）慢车的车速42008=525（米分）=31.5 千米小时答：慢车的车速为每小时 31.5 千米33.马吃草20 匹马 72 天可吃完 32 公顷牧草，16 匹马 54 天可吃完 24 公顷的草假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同那么多少匹马 36 天可吃完 40 公顷的牧草？分析：同例 1 一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可设 1 匹马吃一天的草量为一份20 匹马 72 天吃 32 公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上 72 天新长的草量，可供 207232=45 匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上 72 天新长的草量为 45 份同样，由 16匹马 54 天吃 24 公顷的草量，知每公顷原有牧草加上 54 天新长的草量为 165424=36 份这两者的差正好对应了每公顷 72-54=18 天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决解：（1）每公顷每天新长的草量（207232-165424）（72-54）=0.5（份）（2）每公顷原有草量207232-0.572=9（份）或 165424-0.554=9（份）（3）40 公顷原有草量940=360（份）（4）40 公顷 36 天新长的草量0.53640=720（份）（5）40 公顷的牧草 36 天吃完所需马匹数（360+720）36=30（匹）答：30 匹马 36 天可吃完 40 公顷的牧草34.计算器上的一与零如果你只能按计算器上 1 与 0 两个数字键，请试试看你是否能用不同的方式得出其他的数字。例如，要想得到 120，你可以按下第一种方式需要按键 9 次，其他两种方式只需 7 次，因此后两种是比较有效率的方式。请用最有效率的方式，在计算器上得出下列数字：(1)77 (2)979 (3)1432(4)1958 (5)2046 (6)15983分析与解答：(1) 100-11-11-1= 按 12 次键或 10-1-1-111=(2) 100-1111= 按 10 次键以这样的方式按键，有些计算器会得到-21，因此，最后的按法应该是：100-1111或 1000-11-10= 按 11 次键(3) 1111101= 按 12 次键(4) 100-1111= 按 14 次键(5) 1+111-= 按 10 次键(6) 111111-1= 按 13 次键在你用计算器核对这些运算时，可能会得到不一样的答案。即使是同一牌号的计算器，同样的按键次序也可能得到不同的答案，所以你必须彻底了解你所用的计算器。例如：a-bc有的计算器会把它当作是(a-b)c，有的则当作是 a-(bc)。35.交叉的梯子在两栋房屋之间的巷道里有两个梯子靠在墙上。AB 长 8m，CD 长 10m。两个梯子的交叉点距地面 4m。请问这两栋房屋相距多远？分析与解答：这个题目历史悠久，但并不如想象的那么容易。根据勾股定理，可得AC2102-a2=82-b2因此 a2-b236 (1)利用相似三角形的特性，可得：重新整理(2)式得：将 b 代入(1)式得：整理之后得到下列四次方程式：a4-8a3-36a2288a-5760用试误法，或是更复杂的数值分析法，可以得到：9.25a9.255因此 AC3.8m还有一个类似的问题，也是听起来简单，但实际去做却相当困难：用一条绳子把一只羊拴在一块圆形草地边缘的木桩上。如果羊只能吃到一半草地的草，绳子长度是多少？36.使用计算器的能力艾伦、贝蒂和卡罗想出一种游戏，来检验彼此使用计算器的能力。这个游戏是要用最有效的方式，在计算机上依序得出 1 到 20 的整数。这并不像听起来那么容易，因为他们规定，每次按下的数字必须依照大小次序，从 1 开始，而且不得重复。例如按下 3 之后，下一次必须按 4。游戏进行到求 8 时，各人的按法如下：艾伦的按法是-1234=贝蒂的按法是 12 3=卡罗的按法是.1-2=在求得某个数字时，按键次数最少的人得分；如果按键次数一样，则输入数字最小的人得分。以上面的情形为例，艾伦按了 9 个键，贝蒂和卡罗则只接了 6 个键。然而，卡罗只按了 1 和 2 两个数字，因此由他得到分数。分析与解答：这个游戏鼓励学生去探索计算器所具有的功能。例如，CASIO HL-807 型计算器就有一种功能，在按下 1= 之后，会得到 4，也就是按下 n 个等号键就会得到 n。 使用记忆键也能得到类似的答案，不过这并不一定是最有效的方式。例如按下 1 之后会得到 6，总共接了 8 次键。 但是按 123= 也会得到 6，而只需按 6 次键。 或是按下 123= 或 12=(使用 CASIO HL-807) 或 12= 都可以。 下面所列的是使用 CASIO fx-8100 计算器按出 1 到 20 的方法，但不一定是最好的答案！ 按键次数 1：1 1 2：12 3 3：12 4 4： 12 5 5：.12 6 6：123 6 7：123 6 8：.1-2= 6 9：1+2 6 10：.1 3 11：1-234 8 12：.1+2= 6 13：12 34 8 14：1234 8 15：.123= 8 16：12= 7 17：.12-3= 8 18：12= 9 19：123 10 20：.12 6 37.飞镖游戏由于飞镖游戏日渐流行，一个飞镖团体决定把称作“501 分”的比赛稍作修改，使得它更具有挑战性。新的规定是每一回合的总分必须是质数才能列入记录。每一回合，每一位参加比赛的人掷 3 支飞镖，每支飞镖可能得到的分数是 1、2、3、20，或是这些分数的 2 倍或 3 倍。如果飞镖射中“内圈” ，可以得到 25 分，如果射中靶心，则得 50 分。如果飞镖没有射到靶盘，就算得 0 分。例如某一回合的比赛，3 支飞镖射中 3 倍 20、2 倍 12 和 5 分，那么总分就是 89，是个质数，因此可以列入记录。如果每支飞镖都射中 3 倍 30，虽然总分高达 180，但因不是质数，所以不算。3 种可被列入记录的最高总分各是多少？要想达到 501 分，最少要经过几个回合？如果比赛必须掷出“2 倍”分数后才能结束，那么参加比赛的人最少需投掷几支飞镖才可以获胜？这个游戏的另一种玩法，就是从 501 分开始倒推，与每一回合总分的差是质数时才列入记录(此时每一回合的总分不必是质数)。请证明，在第九支飞镖射中一个 2 倍分数后，就可使差为 0。分析与解答：3 种最高的分数是：1673 倍 203 倍 19+靶心157=靶心+靶心+3 倍 191513 倍 193 倍 18+2 倍 20因为 501=3167，因此最少只需 3 个回合就可以得到 501 分，当然玩的人必须是位高手。如果飞镖射中 2 倍分数区后才能结束比赛，那么这一回合就不可能得到 167 分，因此就需要进行第五回合。如果第四回合的分数是质数，那么它一定是奇数，这样 第五回合的得分也必须是奇数；又由于在第五回合必须得一个 2 倍分数才能结束，因此第五回合至少要掷 2 支飞镖。以 14 支飞镖得到 501 分的方法之一如下：第一回合：3 倍 203 倍 19+靶心 167第二回合：3 倍 203 倍 19+靶心 167第三回合：3 倍 203 倍 207 127第四回合：20152 37用 9 支飞镖使分数差为 0，且每一回合总分的差均为质数的一种方法如下：38.步步为营的战略由图中的左上角开始，走过一个方格到达 1，再走两个方格到达 2，然后再走 3 个方格到达 3，以此类推。行进过程中不得重复经过某一方格，最后要到达右下角的 8。只能直走或横走，不得沿对角线走。请找出这样的路线。分析与解答：上面的答案是当初设计题目时的依据。显然用这些数字还可以排出许多其他的路线。利用不同方格的数字可以找到其他不同的答案，只不过这些答案绝非事先安排好的！ 解这类问题的重要步骤，就是要以充分的耐心，由路线两端有系统地推