1.1 什么是数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模第一章 建立数学模型玩具、照片、房屋模型 实物模型地图、电路图、分子结构图 符号模型模型：为了一定目的，对原型的主要特征进行简 化、抽象得到的一个低代价近似替代物。你常见的模型数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实 际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究 的对象, 从而更有效地解决实际问题。1.1 什么是数学模型解：用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x =20 y =5求解你熟悉的数学模型“航行问题” 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答问题（船速每小时20千米/小时）。航行问题建立数学模型的基本步骤Thats all？更现实的“航行问题” 水速、船速不是常数； 航行条件限制 调度问题 经济问题 扩展阅读：中国大学生数学建模竞赛 (CUMCM) 2000 钢管运输与订购 可在竞赛网站mcm.edu.cn下载 A13258010103120 124270108810706270 30202030450104301750606194205201680480300220210420500600306 0195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6 A11A7 11 A1 1A8 A1 1A9 11 A1 1A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一一句话小结 数学模型是复杂现实问题的合理简化，可 反映现实问题的主要特征。通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象 的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的 对象, 从而更有效地解决实际问题。建立数学模型的全过程（包括模型假设，模型表述、问题求解、结果解释、结论检验等）数学模型(Mathematical Model) 数学建模（Mathematical Modeling)数学模型 和 数学建模你身边的数学模型：购房贷款 作为房产公司的代理人，你要迅速准确回 答客户各方面的问题。现在要制作一个软 件，根据客户所选房屋的建筑面积、每平 方米单价、首付比例，贷款种类、贷款期 限、还款方式等信息计算下列信息：房款 总额、首付款额、月还款额等。分析与假设 贷款种类:1 商业 2 公积金 3 组合(一般) 还款方式: 等额本息,等额本金 假设首付比例、贷款期限符合政府规定 假设自借款日一个月后，每月固定时间还款 不考虑贷款利率的变化（当前计算结果贷款利 率改变以后失效）数学建模 房款总额T=建筑面积S每平方米单价R 首付款额F=房款总额T首付比例p 考虑 组合贷款(其他为特例)。设公积金贷款 AT-F元， 那么商业贷款为B =T-F-A元 设后台变量：公积金贷款N1月，年利率r1，商 业贷款N2月，年利率r2 。月还款额怎么算？概念：月利率=年利率/12等额本息情形设公积金月还M元，第n个月公积金贷款欠款xn. 那么 xn=xn-1(1+r1/12)-M, 计算得 xn= xn-2(1+r1/12)2-M (1+r1/12)-M= x0 (1+r1/12)n-M (1+r1/12)n-1+1 由于 x0=A, xN1=0. 那么 A (1+r1/12)N1-12M (1+r1/12)N1-1/ r1=0 这样 M=A r1 (1+r1/12)N1 /12/ (1+r1/12) N1 -1 同理 可以计算商业贷款月还款额第n月还款 额公式等额本金情形 月还本贷款本金还款月数，利息月月清 月还款额（贷款本金还款月数）（所欠本金当月利率 ） 第一个月公积金月还 A/N1+ Ar1/12 第二个月公积金月还 A/N1+ (A-A/N1)r1/12 . 第N1个月公积金月还 A/N1+ A1-(N1-1)/N1r1/12 第n月还款额公式后继工作/例子 收集数据，编写软件(界面计算)，写说明书。 例子: 80平米, 单价15000元, 首付30%, 公积金40 万, 期限20年,第一套房商业利率7. 05%*0.85,公积 金利率4.9% (2012年1月1日6月7日). T, F, M=hmorgage2012(80, 15000, 0.3, 400000, 240, 240, 1) 等额本息(1): 5768元/月(总借84万，约还138万) 等额本金(2): 7331，7315，, 3516 (约还130万)习题 补充题1: 如果是第二套住房，且全部为商业贷 款（基准利率*1.1）, 等额本息每个月要付多少? 最新情况(2012年7月6日)：第一套房商业利率 6.55%*0.85，公积金4.5%. 补充题2: 如果原案例（第一套）是2012年3月 1日贷款买房，2013年的月还款将调整为多少？( 提示：存量房贷利率每年1月1日调整一次,可假 设2012年8月以后利率不再调整)一句话小结 只要你留意，数学建模就在你身边 数学建模正在不断更新中场景1.3 示例： 如何施救药物中毒两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量 100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状. 按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是 100200mg ，儿童是35 mg/kg.过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高， 浓度100g/ml会出现严重中毒,浓度200g/ml可致命. 医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100200 g/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案. 调查与分析转移率 正比于x排除率 正比于y胃肠道血液系统口服药物体外认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的， 可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” .药量x(t)药量y(t)血液系统对药物的吸收率 和排除率可以由半衰期(下 降一半所需时间)确定.半衰期可以从药品说明书上查到(氨茶碱被吸收的半衰 期为5 h，排除的半衰期为6 h) . 通常，血液总量约为人体体重的7 % 8%，体 重5060 kg的成年人有4000ml左右的血液. 目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认 为其血液总量约为2000ml. 调查与分析血药浓度=药量/血液总量 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率 增加到原来（人体自身）的2倍. 临床施救的办法： 体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6 倍，但是安全性不能得到充分保证.模型假设 1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系 数(0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道, x(0)=1100.2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数 (0)，t=0时血液中无药物, y(0)=0.3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h. 4. 孩子的血液总量为2000 ml. 胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以 孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 模型建立转移率 正比于x排除率 正比于y胃肠道血液系统口服药物体外 药量x(t)药量y(t)?注意: 药物的转移排除并不是匀速的!模型建立x(t)下降速度与x(t)成正比(比 例系数), 转移率 正比于x排除率 正比于y胃肠道血液系统口服药物体外 药量x(t)药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是x，由排除而减少的速度 与y(t) 成正比(比例系数).血药浓度=药量/血液总量 x(0)=1100y(0)=0模型求解 药物吸收的半衰期为5 h 药物排除的半衰期为6 h 只考虑血液对药物的排除血液总量2000ml血药浓度200g/ml结果及分析 胃肠道药量血液系统药量血药浓度100g/ml y(t) =200mg严重中毒y(t) =400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救， 约3h后将有生命危险！y(2)=236.5 施救方案 口服活性炭使药物排除率增至原来的2倍. 孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t) =0.1386 (不变)， =0.11552=0.2310 注意：施救前的 与施救后的 不同，须分段计算！施救方案 t=5.26z=318 施救后血液中药量 z (t)显著低于y(t). z (t)最大值低于 致命水平. 要使z (t)在施救后 立即下降，可算出 至少应为0.4885. 若采用体外血液透析，可增至0.11556=0.693，血液 中药量下降更快(习题7)；临床上是否需要采取这种办 法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定. 一句话小结 数学建模用数学方法可以帮助我们（以较 低的成本）对情况的发展做预判，从而帮助 我们做出正确的决策。数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对 实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所 研究的对象, 从而更有效地解决实际问题。习题 P21: ex6, ex7数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4 数学建模的方法和步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用数学建模的一般步骤数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态 数学方法初等数学、最优化（规划）、微分差分方 程、概率统计 、图论 表现特性描述、优化、预报、决策 建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态 线性和非线性离散和连续数学应用题与数学建模的区别数学应用题数学建模问题来源数学教学实际背景问题条件明确清晰不完全明确，需要作进 一步了解或假设解决方法多种多种问题结论有标准答案有参考解答但无标准答 案。不同的假设下有不 同的模型和结论数学建模 技术+艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目1.6 怎样学习数学建模