“万有引力”练习精解*1. 1998年1月发射的“月球勘探者”空间探测 器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探 ，在月球重力分布，磁场分布及元素测定等方 面取得了新成果，探测器在一些环形山中发现 了质量密集区，当飞到这些质量密集区时，通 过地面的大口径射电望远镜观察，“月球勘探者 ”的轨道参数发生了微小变化，这些变化是( ) A .半径变小 B.半径变大 C.速率变小 D.速率变大A D*2. 我国发射的神州五号载人宇宙飞船的周期 约为90min，如果把它绕地球的运动看作是匀速 圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运 动相比，下列判断中正确的是（ ） A.飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径 B.飞船的运行速度小于同步卫星的运行速度 C.飞船运动的向心加速度大于同步卫星运动的 向心加速度 D.飞船运动的角速度小于同步卫星运动的角速 度C*3. 把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周. 则由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得： （ ）A.火星和地球的质量之比 B.火星和太阳的质量之比C.火星和地球到太阳的距离之比 D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比CD*4.最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某 一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一 周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为 地球到太阳距离的100倍。假定该行星绕恒星运 行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周， 仅利用以上两个数据可以求出的量有 （ ）A.恒星质量与太阳质量之比 B.恒星密度与太阳密度之比C.行星质量与地球质量之比 D.行星运行速度与地球运行速度之比AD*5. 星球上的物体脱离星球引力所需的最小速 度称为第二宇宙速度.星球的第二宇宙速度v2与 与第一宇宙速度v1的关系为是v2= v1.已知某 星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表 面重力加速度g的1/6.不计其它星球的影响，则 该星球的第二宇宙速度为（ ）A.B.C.D.C*6. 如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星 发射至近地轨道1，然后经点火使其在椭圆轨道2上 运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道3.轨道1、 2相切于A点， 轨道2、3相切于B点.则当卫星分别 在1、2、3轨道正常运行时，下列说法中正确的是( ) A.卫星在轨道3上的周期大于在轨道1上的周期 B.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 C.卫星在轨道2上运行时，经过A点时的速率大于 经过B点时的速率 D.卫星在轨道2上运行时， 经过A点的加速度大于经过 B点的加速度B2A13ACD*7. 我们的银河系的恒星中大约四分之一是 双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两 星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上 某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其 运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的 距离为r，已知万有引力常量为G.因此可求出S2 的质量为（ ）B.C.D.A.D8. 宇宙中某星体每隔4.410-4 s就向地球 发出一次电磁波脉冲有人曾经乐观地认 为，这是外星人向我们地球人发出的联络 信号，而天文学家否定了这种观点，认为 该星体上有一个能连续发出电磁波的发射 源，由于星体围绕自转轴高速旋转，才使 得地球上接收到的电磁波是不连续的试 估算该星体的最小密度（结果保留两位 有效数字）解：接收电磁波脉冲的间隔时间即是 该星体自转的最大周期，星体表面物体 不脱离星体时满足：G Mm/R2=4mR2/T2 而: M=4R3/3 =3/GT2 代入已知数据得：=7.31017kg/m39. 某研究性学习小组首先根据小孔成像原理估 测太阳半径，再利用万有引力定律估算太阳的 密度.准备的器材有:不透光圆筒，一端封上 不透光的厚纸，其中心扎一小孔，另一端封上 透光的薄纸；毫米刻度尺.已知地球绕太阳公 转的周期为T，万有引力常量为G. 求: (1)简述根据小孔成像原理估测太阳半径R的过 程. (2)利用万有引力定律推算太阳密度.ABDOCdL解析：（1)其过程如图所示，用不透光圆筒，把有小孔 的一端对准太阳，调节圆筒到太阳的距离，在薄纸的另一 端可以看到太阳的像.用毫米刻度尺测得太阳像的直径d， 圆筒长为L.设太阳的半径为R，太阳 到地球的距离为r.由成像光 路图可知:ABOCDO ，则:，即(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 ，设太阳质量为M，地球质量为m，则: 由密度公式及球体体积公式 ，联立以上各式可得:10. 假设太阳系内各行星的公转轨道均视为圆 形，如图所示，半径较小的轨道是某行星公转 的轨道，半径较大的轨道是地球公转的轨道.在 地球上观测，发现该行星与太阳可呈现的视角( 两物体与眼睛连线的夹角，此时太阳与行星均 可看成质点)有最大值，并且最大视角的正弦值 为16/25，求该行星的公转周期为多少年？太阳地球某行星解析：设行星和地球的轨道半径分别为r、r0， 运行周期分别为T、T0，只有当太阳与行星的连 线与地球与行星的连线垂直时，视角才最大. 根据几何关系可得： 根据万有引力定律和牛顿第二定律有：所以行星的公转周期为：年 太阳地球某行星rr011.（01上海卷） 1791年，米被定义为：在经过巴黎的 子午线上，取从赤道到北极长度的一千万分之一。请由此 估算地求的半径R。（答案保留二位有效数字） （2）太阳与地球的距离为1.51011 m，太阳光以平行光 束入射到地面。地球表面2/3的面积被水面所覆盖，太阳 在一年中辐射到地球表面水面部分的总能量 W约为 1.871024J。设水面对太阳辐射的平均反射率为7，而且 将吸收到的35能量重新辐射出去。太阳辐射可将水面的 水蒸发（设在常温、常压下蒸发1kg水需要2.2106J的能 量），而后凝结成雨滴降落到地面。 （a）估算整个地球表面的年平均降雨量（以毫米表示 ，球面积为4R2）。 （b）太阳辐射到地球的能量中只有约50到达地面， W只是其中的一部分。太阳辐射到地球的能量没能全部到 达地面，这是为什么？请说明二个理由。 解析： （1）2R1/41.00107R6.37106 m （2）（a）设太阳在一年中辐射到地球水面部 分的总能量为W，W1.871024J 凝结成雨滴年降落到地面水的总质量为mmW0.930.65/(2.2106)5.141017 kg 使地球表面覆盖一层水的厚度为hhm/s地球1.01103mm 整个地球表面年平均降雨量约为1.0103 mm （b）大气层的吸收，大气层的散射或反射，云 层遮挡等。12（08全国卷2）我国发射的“嫦娥一号”探月 卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球 表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫 星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地 球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半 径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星 绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动 的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内 卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内 卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球 的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略 月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。解析：如下图所示：设O和 O分别表示地球和月球的中心 在卫星轨道平面上，A是地 月连心线OO与地月球表面 的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与 地球表面、月球表面和卫星轨道的交点过A点在另一 侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点卫星在圆 弧上运动时发出的信号被遮挡设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有 引力定律有： , 式中，T1表示探月卫星绕月球转动的周期 由以上两式可得：设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月 球做匀速圆周运动， 应有：，由几何关系得：由得：上式中: 13.（09年天津卷）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认 了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研 究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50 102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A* 就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。 (1) 若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50 102天文单位 的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的 多少倍(结 果保留一位有效数字)； (2) 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运 动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的 作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G (设粒子 在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和 半径。已知引力常量G=6.710-11Nm2/kg2，光速 c=3.0108m/s，太 阳质量Ms=2.0 1030kg，太阳半径Rs=7.0 108m，不考虑相对论效应 ，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳 半径Rg之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。解析：本题考查天体运动的知识。其中第2小题为信息题，如“ 黑洞”“引力势能”等陌生的知识都在题目中给出，考查学生提取 信息，处理信息的能力，体现了能力立意。 （1）S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对 S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为， 周期为T，则: 设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则: 综合上述三式得 : 式中: TE=1年 rE=1天文单位 代入数据可得:（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料 子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动， 其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明 了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服 引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零， 此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有: 依题意可知: ， 可得 : 代入数据得:14.（09年全国卷）如图，P、Q为某地区水平地面上的 两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域 周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于 ，可将 上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重 力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区 重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力 加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常 值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位 置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已 知引力常数为G。（1）设球形空腔体积为V， 球心深度为d（远小于地球半 径），PQ =x，求空腔所引起 的Q点处的重力加速度反常g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处 重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方 向沿OQ方向,重力加速度反常g是这一改变在竖直 方向上的投影:解析： （1）如果将近地表的球形空腔填满密度为的 岩石,则该地区重力加速度便回到正常值. 因此, 重力加速 度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力:式中的m是Q点处某质点的质量, M是填充后球形区域 的质量(M= V),而r是球形空腔中心O至