数学的精神、思想、方法西北师大教育学院 张定强 2010-4-21伟大的统计能告诉我们什么？在理性的世界里,所有的判断都是统计学！统计是收集、分析带随机性误差数据的科学和 艺术。基本的思维方式是归纳。选举问题、广告中的数据信息可靠性问题 、敏感性问题 这些案例中到底用到了什么样的统计方法让我们共同探讨一些代数问题如何得到得到敏感性问题的诚实反应在统计调查中，问卷的设计是一门很大 的学问，特别是对一些敏感性的问题：考试 有无作弊、上课逃课、恋爱、心里焦虑、偷 盗行为等问题。 对敏感性问题的调查方法举例（示范性） 某地区公共卫生部门为了调查本地区中学 生的吸烟情况，对随机抽出的 200名学生进 行了调查调查中使用了两个问题问题1：你的父亲阳历生日日期是不是奇 数？ 问题 2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、 形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子每个 被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中摸) ：摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生 如实回答第二个问题，回答“是”的就往一个盒子中放一个 小石子，回答“否” 的人什么都不要做由于问题的答案 只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道 的（由于调查者不知道被调查者抽到的球为何种颜色，也 就无法知道被调查者回答的是哪一个问题，即回答的“是” 中不知道是否是敏感性问题的答案，故为其保密）因此被 调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案 请问：如果在200人中，共有58人回答“是”，你能估计 出此地区中学生吸烟人数的百分比吗？分析：由题意可知，每个学生从口袋中摸 出1个白球或红球的概率都是05，即我 们期望大约有100人回答了第一个问题， 另100人回答了第二个问题在摸出白球 的情况下，回答父亲阳历生日日期是奇 数的概率是186/365=051因而在回答 第一个问题的 100人中，大约有51人回 答了“是”所以我们能推出，在回答第 二个问题的100中，大约有7人答了“是” 即估计此地区大约有7的中学生吸烟 这种方法是不是很巧妙？英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字 母，在运用统计方法进行了深入的研究之后，人们发现各个字母被使用的频率相当稳定，例如 ，下面就是英文字母使用频率的一个统计。 字母频率A:0.063;B:0.0105; C:0.023; D:0.035;E:0.105; F:0.0225; G:0.011; H:0.047; I: 0.055 字母频率J:0.001; K:0.003; L:0.029; M:0.021; N:0.059; O:0.0654; P:0.0175; Q:0.0001;R:0.054 字母频率S:0.052; T:0.012; U:0.0225; V:0.008; W:0.012; X:0.002; Y:0.012;Z:0.001.EOANRISHDCLUMFPGWTYVKJZQ电脑键盘上的字母为何不按顺序排列？不知你是否留意并发现，所有的打字机，电脑和排版 设备用的键盘，其英文字母都是按以下一种奇特的方式 排列着：上端是QWERTYUIOP(10个字母)，中端是 ASDFGHJKL(9个字母)，下端是ZXCVBNM(7个)。那么，它 们为什么不按字母的先后顺序予以排列呢?肖尔顿、内弟、专家，键盘这样排列，打字者几乎 打每个英文单词时，手都要移动得更远，而不 是更近。一位研究打字机历史的权威人士指出 ：这可能是有史以来最大的骗局。键盘的改动为什么这么难？人们不接受的真正 原因是什么？这一点，不能不说是世界打字史 上的一个奇迹。1. 需要了解某事物或现象的数量特征与规 律性，这就需要用统计方法。抽样调查是最 常用的统计方法之一。2. 抽样是从要研究的对象全体中抽取一小 部分进行观察，从而对整体进行推断。它可 以节省人力、财力、时间，与全面调查达到 基本相同的效果。样本是总体的一部分，所 以样本的特性在某种程度上能反映整体的特 性，但又不能准确无误地反映整体的特性， 样本的抽取是否得当，直接关系到对总体估 计的准确程度。3. 为了使抽取的样本具有代表性，即使样 本的统计值近似总体的参数值，人们在实践 中总结出一些抽样的方法，后面介绍几种比 较常用的抽样方法。几种常用的抽样方式 1 .简单随机抽样 2. 类型随机抽样（分层抽样） 3. 机械抽样（等距抽样或系统抽样） . 整群随机抽样整群随机抽样是先将总体分成若干群（组），然后再 从其中随机抽取一些群，并对抽中各群中的全部单 位一一进行调查。 5. 阶段随机抽样(又称分级抽样)当总体很大，总体单位多时，如果直接抽选总体单位 ，技术上是有很大困难的，这时需采用多阶段的抽 样方式。问题1.日历上的数学问题（你能提出什么问题，发现哪些 规律）12345678910111213141516171819202022232425262728293031提示：带色9个数之和与其中间的数有什么 关系？这个关系对其他9个数成立吗？你能用 代数式表示这个关系吗？这个关系对任何一 个月的月历都成立吗？为什么？ 你还能提出哪些问题？（可能总结出20多个）学生观察的视角:从行与列的角度从2X2的角度；3X3、4X4的角度思考 ，隔行与列研究 方法：观察法、尝试法、代数法、归纳法、代换法。 概括思想、代换思想（符号化思想）、归纳思想。 探究精神、质疑精神。 神说:要有光，光暗分开，就有了白昼；空气；树木、青草、菜；天空； 生命和动物；造人；问题2：牧场上有一片匀速生长的草地，如 果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21 头牛，则8天吃完牧草；设每头牛每天吃草的 量是相等的，请问： （1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ （2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛 ？问题3: 观察算式找规律过 程 观察下列算式 1 = 0 + 12+3+4 = 1+ 85+6+7+8+9 = 8+2710+11+12+13+14+15+16= 27+64根据上述算式找出它们的一般规律，并 用适当的数学式子表示出这个规律。展示找出的规律，并解释理由。再独立观察下列各个和式的值。0+1， 1 + 3， 1 + 3 + 5， 1 + 3 +5 + 7， 找出它们的一般规律，并用适当的数学式 子表示出来。进行交流。思考题： 1有两个袋子，白袋里装着2000粒白豆，红袋 里装着3000粒左右红豆。您从白袋里拿出50粒放 进红袋里。您再把红袋里的豆子搅匀，然后，眼 睛不看，就那么从红袋里拿出50粒放进白袋，接 着您 又重复这个步骤：但这回是从白袋里拿出 100粒放进红袋里，搅拌匀后再从红袋里拿出100 粒放进白袋。第三遍重复时，每次拿出150粒。 问题是这样的：到最后，红袋里的白豆比白袋里 的红豆是多还是少？ 2n是小于是100的正整数，求 满足方程 的解的个数。分析：设牧场原有草量为，每天生长量为，每头 牛每天吃草量为，16头牛 天吃完牧草，依题意 有解之有X=18。要使草永远吃不完，则有谢 谢 ！