1.对数的概念（1）对数的定义一般地，如果 ,那么数x叫做以a为底N 的对数，记作 ,其中 叫做对数的底数, 叫做真数.（2）几种常见对数 2.7 对数与对数函数要点梳理ax=N(a0且a1) x=logaN Na对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1) . 常用对数底数为 . .自然对数底数为 . .10elogaN lgNlnN2.对数的性质与运算法则（1）对数的性质： ;logaaN= (a0且a1).（2）对数的重要公式：换底公式: (a,b均大于零且不等于1)； 推广logablogbclogcd= .(3)对数的运算法则：如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)= ; ; logaMn= (nR);NNlogadlogaM+logaNlogaM-logaNnlogaM3.对数函数的图象与性质a101时, 当01时, 当00y0增减4.反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为 ,它们的图 象 关于直线 对称.1.(2008全国理,4)若x(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x ， 则 （ ） A.a0.ab.c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),又-10, ca.cab.反函数y=x基础自测C2.已知3a=5b=A,且 则A的值是 （ ）A.15 B.C. D.225解析 3a=5b=A,a=log3A,b=log5A, A2=15, 或 （舍去）.B3.已知log7log3(log2x)=0，那么 等于 （ ）A. B.C. D.解析 由条件知log3(log2x)=1,log2x=3,Cx=8, C4.(2009新郑调研 )若f(x)=logax在2，+）上恒有f(x)1,则实数a的取值范围是（ ）A. B.C.（1，2） D.解析 据题意a1,f(x)为增函数，当x2，+）时，f(x)loga2.故要使f(x)1恒成立，只需f(x)min=loga21,130,故正确.t1+t2=1+log23=log26=t3,故正确.D计算（1）（2）（3）【思维启迪】利用对数定义求值;利用对数的运算性质.解 （1）方法一 利用对数定义求值设x=-1 题型一 对数的运算方法二 利用对数的运算性质求解（3）原式 =（2）原式探究拓展 （1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化.（2）熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.比较下列各组数的大小.（1）（2）log1.10.7与log1.20.7；（3）已知 比较2b,2a,2c的大小关系.【思维启迪】（1）引入中间量比较；（2）利用对数函数图象或利用换底公式；（3）利用对数函数、指数函数的单调性求解.解 （1）而题型二 利用对数函数的性质比较大小（2）方法一 0log0.71.1log0.71.2,即由换底公式可得log1.10.7ac,而y=2x是增函数，2b2a2c.探究拓展 比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较；若底数不同，真数相同，可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较.（12分）已知函数f(x)=logax (a0,a1)，如果对于 任意x3，+）都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围.【思维启迪】当x3，+）时，必有|f(x)|1成立,可 以理解为函数|f(x)|在区间3，+）上的最小值不小于1.解 当a1时，对于任意x3，+），都有f(x)0.所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+）上为增函数， 对于任意x3，+），有f(x)loga3. 4分因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+）都成立.只要loga31=logaa即可，11,x21,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上，题型四 对数函数的综合应用所以点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于OC的斜率为OD的斜率为由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.(2)解 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得代入x2log8x1=x1log8x2，得由于x11,知log8x10,故又因x11,解得 于是点A的坐标为探究拓展 本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解.方法与技巧1.指数式ab=N与对数式logaN=b的关系以及这两种形式的互化 是对数运算法则的关键.2.在运算性质logaMn=nlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMn=nloga|M|(nN*且n为偶数).3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式在解题中的灵活应用.失误与防范1.指数函数y=ax与对数函数y=logax（a0，且a1）互为反 函数，要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的 联系与区别.2.在解决问题的思路和方法上，要注意与指数进行比较.3.比较两个幂值的大小是一种常见的题型，也是一类容易做 错的题目.解决这类问题时，首先要分清是底数相同还是指数相同.如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可利用图象（如下表）同一坐标系下的图象关系当底大于1时，底越大，图象越靠近坐标轴；当底小于1大于0时，底越小，图象越靠近坐标轴，如果底数、指数都不同，则要利用中间变量.底的关系ab1图 象y=ax与y=bxy=logax与logbx底的关系1ab0 图 象y=ax与y=bxy=logax与logbx1.化简求值.（1）（2）(lg2)2+lg2lg50+lg25；（3）（log32+log92）(log43+log83). 解 （1）原式（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.(3）原式2.已知0a1，b1，ab1,则 的大小 关系是 （ ）A. B.C. D.解析 01, 又ab1,C 3.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间 上是单调 递减函数.求实数a的取值范围.解 令g(x)=x2-ax-a,则由以上知g(x）的图象关于直线 对称且此抛物线开口 向上.因为函数f(x)=log2g(x)的底数21,在区间 上是减函数，所以g(x)=x2-ax-a在区间 上也是单调减函数，且 g(x)0.解得故a的取值范围是4.已知函数（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.解 （1）f(x)有意义时，有由、得x1,由得x1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log2(x+1)(p-x)，.当 即 p3时，当 即13时，f(x)的值域是（-,2log2(p+1)-2;当10,且a1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则 （ ）A.a=2,b=2 B. C.a=2,b=1 D.解析 由题意得 求得2.DA3.已知点（m,n)在函数f(x)=ax的图象上，则下列哪个点一定 在函数g(x)=-logax (a0,a1)的图象上 （ ）A.(n,m)B.(n,-m)C.(m,-n)D.(-m,n)解析 f（x）=ax与y=logax互为反函数，又(m,n)在f(x)=ax的图象上，(n,m)在函数y=logax的图象上.又y=logax与g(x)=-logax关于x轴对称，（n,-m)在g(x)=-logax的图象上.B4.（2009宜昌调研）函数 的递增区间是（ ）A. （-,1） B. (2,+)C.D.解析 由x2-3x+20得x2,当x(-,1)时，f(x)=x2-3x+2单调递减，而 由复合函数单调性可知 在（-,1)上是单调递增的，而在（2,+)上是单调递减 的.A5.D 6.B7.（2008青岛质检）计算.解析 原式8.29.已知函数f(x)=loga(x+1)(a1),若函数y=g(x)图象上任意 一 点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x0，1）时总有f(x)+g(x)m成立,求m的取值范 围. 解 （1）设P（x，y）为g(x)图象上任意一点，则Q（-x，-y）是点P关于原点的对称点，Q（-x，-y）在f(x)的图象上，-y=loga（-x+1），即y=g(x)=-loga(1-x).（2）f(x)+g(x)m,即设由题意知，只要F（x）minm即可.F（x）在0，1）上是增函数，F（x）min=F（0）=0.故m0即为所求.10. 11.(1) (2)12.(1) （-,-b）(b,+) (2)奇函数（3）当01时，f(x)分别在(-,-b)和（b,+)上是减函数.返回