圆周运动和天体运动李生滨大连市第二十三中学一、描述匀速圆周运动的物理量如图所示1、线速度v：大小 v=s/ t (m/s)方向沿轨道切线方向2、角速度w：w=/t (rad/ s)v=wR3、周期T：T2w=2R/v (s)4、频率（转速）：频率 f=1/T(Hz)5、向心加速度：是描述线速度方向改变快慢的物理量 ，其方向时刻变化，总是沿着轨道半径指向圆心。公式 a=v2/R=Rw2=R(2/T )2=R(2f)2=vwvvs二、圆周运动的向心力1、圆周运动分类（1）匀速圆周运动，其发生条件是：质点具有初速 度v而且受到大小不变，但方向始终与速度v垂直的合外力 的作用，这个合外力F就是向心力，且Fmv2/R 。若F mv2/R，物体将作离心运动，若Fmv2/R，物体将作逐渐 靠近圆心的运动。（2）变速圆周运动，其发生条件是，质点具有初速 度，受到的合外力与瞬时速度成某一角度，但合外力总有 分量指向圆心，这个分量就是变速圆周运动的向心力。2、匀速圆周运动的向心力（1）向心力的作用效果是产生向心加速度，以不断 改变物体速度方向，维持物体做匀速圆周运动。（2）向心力的来源分析：分析做匀速圆周运动物体 的受力情况时，只能分析按力的性质命名的力，决不可 把向心力再分析进去，做匀速圆运动的向心力只不过是 它所受外力的合力。（3）向心力的公式 F=mv2/R=mRw2= mR42/T2 =mR42f2=ma遵循牛顿第二定律，匀速圆周运动的向心力是大小 不变，方向变化的变力3、变速圆周运动的向心力（1）变速圆周运动的受力分析：做变速圆周运动物体 所受的合外力，不仅大小随时间改变，其方向也不沿 半径方向指向圆心。合外力沿半径的分力（或所有外 力沿半径方向的分力的矢量和）提供向心力，使物体 产生向心加速度，用以改变速度的方向；合外力沿轨 道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，用以改 变物体的线速度的大小。（2）向心力的合成F=mv2/R=mRw2=ma注意圆周上某点的向心力F和向心加速度a跟v或w 的对应性 ,即应是同一点的瞬时值.4、重要实例分析竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，在中学 物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并经常出现临 界状态。（1）绳模型：如图，没有物体支撑小球，在竖直平面内做圆周运动时过最高点的情况。临界条件：小球到达最高点时绳的拉力（或轨道的弹力 ）刚好等于零，小球重力提供其圆周运动的向心力，即mg=mv02/R刚过最高点的临界速度（最小速度）v0= gR当vv0时小球通过最高点当vv0时小球不能到达最高点。（2）杆模型：有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周 运动过最高点的情况，如图。临界条件：由于杆（或管壁的支撑作用）小球恰好到达最高点的临界速度Vs=0。受力分析：当v s=0时，Nmg当0v gR 时0Nmg 此时，mg-N=mv2/R (N为杆对小球的支撑力或管的内壁 上侧对小球有竖直向上的支持力）当v= gR 时，N0，此时 mg=mv2/R 当v gR 时，Nmg=mv2/RN为杆对小球的拉力或管的外壁下侧对小球有竖直向下的支 持力。小球以速度v通过最低点时，杆对小球的作用力是拉 力（或管对小球的作用力）是外侧向上的支持力N-mg=m 重点难点导析1、向心力：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合外 力作用，称为向心力。物体做匀速圆周运动，其速度方向时 刻改变，向心力的效果就是用于改变速度方向 ，由于向心力 总与线速度方向垂直，故不能改变速度大小，所以向心力对 物体不做功，向心力是根据力的效果命名的。在具体情况中 ，可以是一个力充当向心力，也可以是多个力的合力充当向 心力。从性质上讲，向心力可以由各种性质的力来充当，向 心力是变力。向心力的作用效果：改变方向。向心力方向：指向圆心与速度垂直。 向心力的大小：F= mv2/r =mw2r。向心力的命名方法：由力的效果命名。向心力的性质：各种性质的力都可能成为向心力。 匀速圆周运动的向心力：就是合外力。2、向心加速度：向心加速度是由向心力产生的加速度，向 心加速度是矢量。向心加速度的方向：指向圆心。 向心加速度的大小：a=v2/r=w2r由a= v2/r 知，做匀速圆周运动的物体，其线速度大小 一定时，向心加速度与半径成反比；由a=w2r 知，做匀速圆 周运动的物体，角速度一定时，向心加速度与半径成正比。向心加速度的方向时刻改变，是个变量。 公式 a=v2/r=w2r 也适用于非匀速圆周运动，在 非匀速圆周运动中，某时刻的向心加速度由该时刻的线速度 v(或角速度w）决定。例1如图所示，光滑杆偏离竖直方向的夹角为，杆以O 为支点绕竖直线旋转，质量为m的小球套在杆上可沿杆滑动， 当杆角速度为w1时，小环在平面A处，当杆角速度为w2时，小 环旋转平面在B处，设环对杆的压力为N，则有（ ）A、 N1N2 B、 N1N2 C、角速度w1小于w2 D、角速度w1等于w2 精析与解答 由图可知，小球旋转时受到mg和支持力 N两个力作用，合力F合mgtan 用于提供向心力，其中N mg/cos 由于N mg/cos ，与旋转半径无关，因此 N1N2 ，即 A错，B对。由于F合mgtan mw2r，即 w= gtan /r ,因此旋转半径r 越大，角速度w越小，即w1w2 ，C、D都错。正确答案B。AB例如如图所示，细线一端系着质量m A=0.4kg的物体A，A静 置于水平转台上，线的另一端通过中心光滑的小孔，系一质量 m B=0.3kg的物体B，A可视为质点，与中心孔O相距0.5m，并 知A与转台的最大静摩擦力为2N。现使转台绕竖直中心轴匀速 转动，试问要使物体A相对于台面静止，对转动角速度有何要 求？（g=10m/s2)精析与解答当A物体的角速度w较小时，A物体有靠近圆 心的趋势，摩擦力方向沿半径向外，则有T-f=mAw2R对于B物体，在平衡时有TmB g因TT ，故由两式可得 w= (mBg-f)/Rm A当f最大时，w有最小值w min= 5 rad/s。BAT Tf当角速度w较大时,A有离心的趋势,摩擦力的方向沿半径 指向圆心,对A、B两物体有T+f=mAw2R,且T=mBg。由此可得w= (mBg+f)/Rm A当f有最大值时，w有最大值w max=5rad/s,因此可得 5 rad/sw5rad/s。三、万有引力定律一万有引力定律数学表达式: F=Gm1m2/R2万有引力恒量:G=6.67*10-11 N m2/kg2测量：卡文迪许扭称实验适用条件：严格来说公式只适用于质点间的相互作用 ，当两个物体间距离远远大于物体本身大小时，公式也近 似适用，但它们间距离r应为两物体质心间距离。注意：公式 F=Gm1m2/R2 中F为两物体间的引力，F与 两物体质量乘积成正比，与两物体间的距离的平方成反比 ，不要理解成F与两物体质量成正比、与距离成反比。二、应用1、基本方法：把天体的运动近似看成匀速圆周运动 ，其所需要向心力都是来自万有引力，即：应用时根据实际情况选用适当公式进行分析。2、天体质量M、密度的估算：测出卫星围绕天体做 匀速圆周运动的半径r和周期T。3、卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系：（1）由 ，得： 即（2）由 ，得：（3）由 ，得： 4、三种宇宙速度第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做 匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，又称环绕 速度。规律： (R为地球半径 ）所以第二宇宙速度：v=11.2km/s卫星脱离地球束缚的最小 发射速度第三宇宙速度：v=16.7km/s 卫星脱离太阳束缚的最小 发射速度5、卫星上的“超重”与“失重”“超重”：卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体“ 超重”。此种情况与“升降机”中物体超重相同。“失重”：卫星进入轨道后 ，正常运转时，卫星上 物体完全“失重”（因为重力提供向心力）。因此，在卫 星上的仪器，凡是制造原因与重力有关的均不能使用。重点难点导析1、天体运动与万有引力：（1）天体的运动可以近似看作匀速圆周运动。（2）天体运动所需要的向心力是由万有引力充当 的，即：F向F万（如图所示） 式中M为圆心处天体质量，m为做匀速圆周运动的 天体质量。2、重力与万有引力：严格地讲，地球上物体所受的地球施加的万有引力 ，并不等于重力，但差别很小（一般重力略小于万有引 力），只在特殊位置才相等，即：3、卫星运动：求解卫星运动问题要抓住两个要点：其一是卫星的运 动近似看做匀速圆周运动，其二是卫星运动所需的向心力 就是处于圆轨道中心处的行星对它的万有引力：即：由上式得向心加速度线速度： ,故卫星离地 面越高，线速度越小。周期： , 故卫星离 地面越高，周期越大。角速度： , 故卫星离 地面越高，角速度越小。4、卫星轨道设置人造地球卫星的圆心必须和地心重合，由 可知：h越大，即卫星离地面越高，其线速度越小，因此， 第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最 大速度。同步卫星必须设在赤道上方确定的高度处，由典题精析示例例1 一颗行星的质量为M，在它表面附近发射一颗卫 星，已知卫星绕行星的周期为T，求该行星的平均密度。精析与解答要利用 求密度，设卫星的质量为 m，在解题时要利用万有引力是卫星运动的向心力，并全面分 析和比较应用设法表示出行星的体积。利用例2已知地球半径约为6.4106m，已知月球绕地球运动可近 似看作匀速圆周运动，试估算出月球到地心的距离约为多少米 ？（结果只保留一位有效数字）精析与解答 月球可看作质点，月球运动看作做匀速圆 周运动，不考虑地球的自转。月球绕地球运动的周期T30d30243600s根据 (R为待求的距离）而GMgr2（r为地球半径）由得代入数据最后得到：R4108m。例3 在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的卫星，它所具有 的机械能为E、动能为EK，由于某种原因使它的速度突然增大 ，则当它重新稳定下来做匀速圆周运动时，它的（ ）A、r增大，E增大， EK增大 B、r增大，E增大， EK减小C、r减小，E增大， EK减小 D、r减小，E减小， EK增大精析与解答 在轨道上稳定运行的卫星速度突然增大时 ，显然是外界对其做了正功，故它的机械能E将增加（此时的 动能突然增大）当卫星的速度突然增大后，此处卫星所受的引力不足以 提供向心力，所以发生了离心现象，轨道半径增大，引力做 负功，动能减小，势能增大。当卫星的运行重新稳定