第五章 用差分法和变分法 解平面问题在前几章我们学习了弹性力学平面问题的基本公 式，以及在某特定边界条件下的解答。实际上，自 弹性力学基本方程建立后，很多的数学家和力学家 将这些方程在各种问题的边界条件下的求解作为重 要的工作内容。但弹性力学的经典解法存在一定的局限性， 当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无 法求得偏微分方程的边值问题的解析解。另一方面 在实际的工程中，边界条件一般都是十分复杂的。 这使得用数值解法有着重要的实际意义。 差分法和变分法是使用较久、比较经典的两种数 值解法 。第五章 用差分法和变分法解平面问题35-1 差分公式的推导l 差分法，就是把微分用有限差分代替，把 导数用有限差商代替，从而把基本方程和 边界条件（一般均为微分方程）近似地改 用差分方程（代数方程）来表示，把求解 常微分方程的问题改换成为求解代数方程 的问题。4一、基本差分公式我们在弹性体上，用相隔等间距 h而平行于坐标轴的两组平行线织成 正方形网格，如图所示。网格的交点称为结点，网格的间 距称为步长。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个 连续函数。该函数在平行于x轴的一 根网线上，例如在3-上，它只 随x坐标的改变而变化。在邻近结点 处，函数f可展为泰勒级数如下：这是基本差分公式。以上（）（）是基本差分公式，从而可导 出其它的差分公式如下：二、导出其它差分公式其它差分公式本节差分公式的推导是建立在f泰勒展开时略去三阶后 得到的，即把函数f简化为二次函数，呈抛物线变化，因 此本节的基本差分公式称为抛物线差分公式。l 差分公式()及()是以相隔2h的两结 点处的函数值来表示中间结点处的一阶导 数值，可称为中点导数公式。以相邻三结 点处的函数值来表示一个端点处的一阶导 数值，可称为端点导数公式。应当指出： 中点导数公式与端点导数公式相比，精度 较高。因为前者反映了结点两边的函数变 化，而后者却只反映了结点一边的函数变 化。因此，我们总是尽可能应用前者，而 只有在无法应用前者时才不得不应用后者 。5-2 应力函数的差分解l一、应力函数表示的应力分量的差分表示法应力函数的二阶导数表示的应力分量为 ： l l 仍用第一节的网格，应用差分公式，结点0处 的应力分量表达式为： 如果在弹性体上织成如 图所示的网格，应用差分 公式就可以把任一结点处 的应力分量表示成为：（b）通过以上差分公式，若已知各节点处的值，就 可以求得各结点处的应力分量。二、应力函数表示的相容方程的差分方程将前节的公式 二、应力函数表示的相容方程的差分方程代入相容方程 即得 二、应力函数表示的相容方程的差分方程化简后得应力函数表示的相容方程的差分方程：该方程相当于应力函数的双调和方程。观察方程的脚标我们发 现， 的脚标与结点的序号之间有很有意思的联系： 的脚标与 结点的相对位置紧密相连。 为本点、 为近点、 为角点、 为远点，上式可以这样记忆：20本点 8近点 + 2角点 + 远点 = 0二、应力函数表示的相容方程的差分方程对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这 样一个差分方程。但是对于边界内一行（距边界为 h ）的结点，差分方程中还将包含边界上各结点处的 值和边界外一行的虚结点的 值。因此必须将网格 扩展到边界外，假想在边界外还有一行结点。先算 出边界上各结点的 ，再求靠近边界外面一行的各 结点的 ，然后解出边界内各结点的联立差分方程 。l应力边界条件： l具体的推导分析教材叙述的非常详细，同 学们可以自习。三 、应用 应力边界条件求出边界节点上的l在应用差分法中，内结点数与以内结点为 本点所列出的差分方程数相等，而对列差 分方程时要用到的边界结点和边界外一行 的结点采用下列方法处理：l1、对边界结点，利用应力函数加上一个线 性函数并不影响应力的特点，通过把函数 加上 ，并调整系数 ，使 对某个基点A有 ；对于边界 上其它点B，利用下列公式求得：l 上面是积分形式（从定点到动点）的应 力边界条件。其物理意义是： l 表示从A到B边界上x向面力的主矢量l 表示从A到B边界上y向面力的主矢量改号l 表示从A到B边界上面力对B点的力矩，在图 示坐标系中以顺时针向为正。l2、对边外一行的虚结点，可用下列公式求 解（如图第一节网格所示）： 四 、用应力函数的差分法求解问题的步骤（1）在边界上任意选定一个结点作为基点A，取：计算边界上各点的 （2）求出边界外一行各虚结点处的 值。（3）对边界内的各结点建立差分方程，联立求 解，从而求出各结点处的 值。（5）计算所需求的应力分量。（4）计算边界外一行各结点处的 值。5-3 应力函数差分解的实例 l 如图，正方形的混凝土深梁，上面受均布形下的铅直载荷q ，由下角点处的反力维持平衡，试用应力函数的差分解求解应力 分量。 l l 为了简便计算， l 设反力是集中力。 l 网格划分如图所示，间隔为1/6边长。 （1）为了反映对称性，取梁底中点A作为基点，取 ，相关节点的需要计算的值如下表所示：结点AB CDEFG HIJKLM0_00_00000000l (2) 将边界外一行各个虚结点处的 值（ 至 ） l 在上下两边， ，得到l 在左边， ，得到l 即 l 同理得：l （3）对边界内各点建立差分方程：（注意对称性） l 对于结点1：l 将前面求得的结果带入，化简后得l 这样的方程我们可以列出15个，同时未知数为 共15个未知数。 联立求得： （4） 计算边界外一行各界点处的 值。l（5）计算应力 l由前面讨论的公式，可以求得各点应力：对于M点对于结点1：l 同理得到：l 中线MA变化曲线如图。 l 对比材料力学的结答： l 可见，对于深梁，材料力学的解答是不能完全反映实际 情况的。l从本道例题中，我们总结要注意以下几点： l 1、对称性。 l 2、求解边界上各结点的 值，可以直 接根据其物理意义得出。 l 3、对于深梁受均布载荷的问题，无法得出精 确的函数式解答。应用差分法可以求得其解，沿 深梁的中线MA， 的变化曲线。例题1 用差分法计算图示中的A和B的应力分量。 l 解： 为反映对称性，取A为基点。令 l 边界点的应力函数值：l 边界点的导数值由上式及 ，求出边界外一行虚结点的值：l对1点列差分方程：l 解得：l 应力分量为：例题2 用差分法计算如图所示基础梁的最大拉应力， 并与材料力学的解答进行对比，采用2*4 的网格，各结 点编号如图所示。解：由于对称，只需计算梁的一半，所以，只有两个独立 的未知数 和 。l 1.取梁底中点A 作为基点，设 l l 利用边界结点的应力函数及其导数公式，计算边界上所 有各结点处的 值。 结果见下表 结点2.计算各虚结点的 值：l 3.建立内结点的差分方程l 将边界点及虚结点的 值代入，简化得：4.计算虚结点的值5.各结点处的应力分量，如GA 截面上三个结点的分别为：同理可算得FB 截面，EC 截面上的 以及各水平截面上的 ，各结点的剪应力也可求得。经比较基础梁内最大拉应力 为 ,GA截面上 的分布见图所示。l 6.分析：按材料力学方法计算， GA截面的弯矩 以及 A，G点的正应力 分别为：ll 差分法计算出的最大拉应力、最大压应力分别 比材料力学相应的解答小了43%与24%。但如果 网格进一步细分，则将得到更精确的解答。差分法小结差分法的优点： l 1、差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方 法。我们总可以将微分方程化为差分方程并得出其数值解答。 l 2、差分法简便易行。掌握了差分公式和解题步骤，就可以简便解答问题。同 时，我们还可以借助计算机取较密集的网格对问题进行分析，可 以得到足够精确的解答。如，对于矩形薄板的弯曲、稳定和振动 等问题，可以用差分法很方便求解。 l 3、对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以用 差分法进行分析。如，使用结构力学方法计算出钢架结构的整体内力分布后 ，可以用差分法进一步分析钢架结点附近的局部应力状态。差分法小结差分法的缺点是： l 1、对于由曲线边界和斜边界等产生的不等距网格， 虽然可以得出相应的不等距的差分公式，或改造成为等 间距的网格进行分析，但比较麻烦并容易出错。 l 2、差分法比较适用于解二维问题或平面问题，这时 的网格较为直观，易于图示。 l 3、差分法比较适用于等间距网格，对于应力等变化 较为剧烈时，需采用二次网格进行计算。 l 4、差分法是近似解法，凡是近似解，在进行求导运 算时会降低精度。5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性力学问题需要解一系列偏微分方程 组，并满足边界条件，这在数学上往往遇 到困难。因此需要寻求近似的解法。变分 法的近似解法是常用的一种方法。在数学 上，变分问题是求泛函的极限问题。在弹 性力学里，泛函就是弹性问题中的能量（ 功），变分法是求能量（功）的极值，在 求极值时得到弹性问题的解，变分问题使 我们比较方便地得到近似解。一、变分法（ variational method ）简介以变分法和变分原理为基础的一种近似计 算方法，是解决力学和其它领域问题的有效数学 工具。变分法是研究泛函的极值问题。变分原理 实际上是以变分形式表达的物理定律，即在所有 满足一定约束条件的可能物质运动状态中，真实 的运动状态使某物理量取极值或驻值。变分问题 可化为等价的微分方程问题。虽然物理问题可以 有两种等价的提法，但在求数值近似解时，从求 泛函的极值或驻值出发有时比从微分方程出发更 为方便。因此，变分日益受到重视并成为计算力 学的重要方法之一。变分法大约经历了古典变分法和有限元法两 个阶段l 瑞利（18421919） l 英国物理学家 。原名J.W.斯特拉特 。1842 年 11月12日生于埃塞克斯的 威特姆，1919 年6月30日卒于同地 。 20岁入剑桥大学三一学院学习 ，3年 后以优异成绩毕业 。毕业后第二年被 选为三一学院研究员。他在理论和实 验方面都有杰出才能，研究工作几乎 遍及当时经典物理学的各个领域。他 有不少著作，论文达400多篇。1873 年被选为英国皇家学会会员，1879 1884年任卡文迪什实验室主任；1885 1896 年任皇家学会秘书，1905 1908 年任会长 。1908 年起任剑桥大 学校长。 瑞利-里兹法通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法 ，是英国的瑞利于1877年在声学理论一书中 首先采用，后由瑞士的W.里兹于1908年作为一个 有效方法提出。这一方法在许多力学、物理学问 题中得到应用。 瑞利-里兹法是最常见的古