计量经济学预备知识串讲石红溶 西北政法大学经管学院西北政法大学经管学院平均数的种类算术平均数 数值平均数调和平均数几何平均数众数 位置平均数 中位数西北政法大学经管学院 算数平均数的分类简单算术平均数加权算术平均数西北政法大学经管学院1简单算术平均数 总体各单位的标志值没有经过分组 计算公式式中： 算术平均数X 各单位的标志值n 总体单位数 总和符号西北政法大学经管学院例：某生产小组有5名工人，生产某种零件， 日产量（件）分别为12、13、14、14、15 ，则平均每个工人日产零件件数为：(12+13+14+14+15）/5=13.6（件）西北政法大学经管学院2加权算术平均数 总体各单位的标志值经过分组 计算公式式中： 算术平均数X 各组数值f 各组数值出现的次数(即权数)西北政法大学经管学院 变量的权数有两种形式：以绝对数表示，即次数或者频数以比重表示，称频率西北政法大学经管学院例：某厂工人生产情况（以比重表示）工人按日产量 分组(X)工人人数X*(f/ f) 绝对 数(f)频率f/ f 2010.020.40 2140.081.68 2260.122.64 2380.163.68 24120.245.76 25100.205.00 2670.143.64 2720.041.08 合计501.0023.88 工人平均日产量= X*(f/ f) =23.88（件）西北政法大学经管学院权数的含义 各组频数F在均值的计算中起着“权衡轻重”的作用，故而将其称之为“权数”。 在各组变量值（X）一定的情况下，频数或频率大的那一组的变量值对均值的影响大，频数或频率小的那一组的变量值对均值的影响小。西北政法大学经管学院标志变动度一、概念和作用 概念：标志变动度是指总体中各单位标志值 差别大小的程度，又称离散程度或离中程度 作用： 标志变动度是评价平均数代表性的依据西北政法大学经管学院甲、乙两学生某次考试成绩列表甲、乙两学生的平均成绩为80分，集中趋势一样，但 是他们偏离平均数的程度却不一样。乙组数据的离散程 度大，数据分布越分散，平均数的代表性就越差；甲组 数据的离散程度小，数据分布越集中，平均数的代表性 越大语文数学物理化学政治英语甲 959065707585乙1107095508075西北政法大学经管学院 标志变动度可用来反映社会生产和 其他社会经济活动过程的均衡性或协调性 ，以及产品质量的稳定程度供货计 划完成百分比(%)季度总供货计 划执行结果一月二月三月钢 厂甲100323434乙100203050西北政法大学经管学院测定标志变动度的方法 全 距R 四分位差Q.D. 平 均 差 A.D. 标 准 差 S.D.() 离散系数V西北政法大学经管学院4.标准差 S.D.()西北政法大学经管学院未分组例：有两个不同水平的工人日产量资料： 甲组：60，65，70，75，80 乙组：2，5，7，9，12 分别求标准差？西北政法大学经管学院西北政法大学经管学院一般地，设总体参数为， L、 U为由样本确定 的两个统计量值，对于给定的（0=30），不论总体分布形式如何 ，均可用上述方法进行总体均值的区间估计，这时 ，如果总体方差未知，则直接用样本方差代替。注意：如果假设总体均值及方差未知，一次容量为30 的抽样的样本均值及方差分别为51814与3347.72, 由于是大样本，则可求置信度为95%的置信区 间如下：西北政法大学经管学院2、小样本下总体方差未知时，正态分布总体均 值的区间估计如果是小样本，但总体为正态分布，在总体方差未知 而需用样本方差代替时，则下式服从自由度为n-1的t分布。西北政法大学经管学院注意：如果小样本下总体分布非正态，则无法进行区间 估计，唯一的解决方法就是增大样本。从而可得置信度为1- 时总体均值的置信区间：或于是，给定置信度为1- ，可由t分布表查得临 界值t /2(n-1)，使得西北政法大学经管学院当F(t)=68.27%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的1倍(t=1)当F(t)=95.45%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的2倍(t=2)当F(t)=99.73%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的3倍(t=3)抽样误差范围的实际意义是要求被估计的全及指标 或P落在抽样指标一定范围内，即落在 或 的范围内。西北政法大学经管学院总体均值区间估计程序n=30 ?知否？用s代替总体是否接 近正太分布？知否？用s代替增大样本 容量至 n=30yesNoyesNoyesyesNoNo西北政法大学经管学院抽样推断的精确度和可靠程度 置信区间反映了估计的精确性。置信区间越 大，允许的误差范围越大，说明估计的精确性 越低，反之亦然。 置信度反映参数估计的可靠程度。置信度越 大，估计可靠程度就越大，反之亦然。 一般说来，在样本容量一定时，精确度和置 信度是相互矛盾的。置信度增加，置信区间必 然增大，精确度就降低；若精确度提高，则置 信区间缩小，置信度必然减小，估计的可靠程 度降低西北政法大学经管学院同时提高置信度和精确度的方法 通过增加样本容量。 先考虑估计的可靠性，在区间估计不低 于某个置信度的前提下，尽可能提高精确 度西北政法大学经管学院西北政法大学经管学院一、假设检验(Hypothesis Testing)问题的提出有许多实际问题，需要通过部分信息量，对某 种看法进行判定或估计。例1、某企业生产一种零件，以往的资料显示 零件平均长度为4cm，标准差为0.1cm。工艺改革 后，抽查100个零件发现其平均长度为3.94cm。问 ：工艺改革后零件长度是否发生了显著变化？假设检验的一般问题假设检验西北政法大学经管学院 例2、某厂有一日共生产了200件产品， 按国家标准，次品率不得超过3%才能出 厂。现从该批产品中随机抽取10件，发现 其中有2件次品，问这批产品能否出厂。西北政法大学经管学院例1要判明工艺改革后零件平 均长度是否仍为4cm；例2要判明该批产品的次品率 是否低于3%。进行这种判断 的信息来自 所抽取的样本这两个例子中都是要对某种“陈述”做出判断：西北政法大学经管学院所谓假设检验，就是事先对总体参数或 总体分布形式作出一个假设，然后利用样 本信息来判断原假设是否合理，即判断样 本信息与原假设是否有显著差异，从而决 定是否接受或否定原假设 假设检验分两类：（1）参数假设检验；（2）非参数检验或自由分布检验。西北政法大学经管学院1、假设检验采用的逻辑推理方法是反 证法为了检验某假设是否成立，先假定它正 确，然后根据样本信息，观察由此假设而 导致的结果是否合理，从而判断是否接受 原假设；二、假设检验的基本思想西北政法大学经管学院2、判断结果合理与否，是基于“小概率事 件不易发生”这一原理的即在一次抽样中，小概率事件不可能 发生。如果在原假设下发生了小概率事件 ，则认为原假设是不合理的；反之，小概 率事件没有发生，则认为原假设是合理的 。西北政法大学经管学院因此，置信度大小的不同，有可能做出不 同的判断。3、假设检验是基于样本资料来推断总体特 征的，而这种推断是在一定概率置信度下进行 的，而非严格的逻辑证明。西北政法大学经管学院1、提出原假设(null hypothesis)和备择假设 (alternative hypothesis)原假设为正待检验的假设：H0；备择假设为可供选择的假设：H1一般地，假设有三种形式：（1）双侧检验：H0 : 0; H1 :0（2）左侧检验：H0 : 0; H1 :0 或 H0 : 0 三、假设检验的步骤西北政法大学经管学院2、选择适当的统计量，并确定其分布形式统计量是根据所涉及的问题而定的，如总体 均值、比例（率）可选取正态分布的Z或t统计 量等。西北政法大学经管学院3、选择显著性水平或置信度，确定临界值 显著性水平为原假设为真时，样本点落在临 界值外的概率（即抽样结果远离中心点的概率 ，它为小概率），也是原假设为真时，拒绝原 假设所冒的风险。 临界值将样本点所落区域分为拒绝域与接受 域，临界值“外”为拒绝域，“内”为接受域。西北政法大学经管学院通过样本计算统计量的具体值，与临界值 比较，根据落入拒绝域或接受域的情况来拒绝 或接受原假设。4、作出结论西北政法大学经管学院由于假设检验是根据有限的样本信息来推断 总体特征，由样本的随机性可能致使判断出错。（一）第一类错误当原假设为真时，而拒绝原假设所犯的错误， 称为第I类错误或拒真错误。易知犯第I类错误的概 率就是显著性水平:四、假设检验中的两类错误西北政法大学经管学院（二）第二类错误当原假设为假时，而接受原假设所犯的错误 ，称为第II类错误或采伪错误。犯第II类错误 的概率常用表示:西北政法大学经管学院假设检验中的四种可能情况 H0为真 H0不真接受H0 Good Bad/Type II error拒绝H0 Bad/Type I error Good西北政法大学经管学院1犯第一类错误与犯第二类错误的概率存在此消彼长的关系2、若要同时减少 与 ，须增大样本容量n。3、通常的作法是，取显著性水平较小，即控制犯第一 类错误的概率在较小的范围内；4、在犯第二类错误的概率不好控制时，将“接受原假 设”更倾向于说成“不拒绝原假设”。注意：西北政法大学经管学院一、总体均值的假设检验（一）总体方差已知，正态总体，样本大小不限如果总体XN(,2)，在方差已知的情况下，对总体均 值进行假设检验。由于总体均值、比例和方差的假设检验 因此，可通过构造Z统计量来进行假设检验：西北政法大学经管学院 注意：如果总体方差未知，且总体分布未知 ，但如果是大样本（n=30），仍可通过 Z 统计量进行检验，只不过总体方差需用 样本方差 s 替代。西北政法大学经管学院(一) 双边检验H0:=0；H1:0西北政法大学经管学院某种产品的直径为6cm时，产品为合格，现随机抽取100件作 为样本进行检查，得知样本平均值为6.1cm，现假设标准差为 0.2cm，令=0.05，检验这批产品是否合格。例西北政法大学经管学院(二) 单边检验西北政法大学经管学院根据过去学校的记录，学生的统计学考试的平均分数为65分， 标准差为16分。现在学校改革了教学方法，经抽取64名学生作调 查，得平均分数为69分，问平均分数有无显著提高？(=0.05)例1西北政法大学经管学院某工厂生产瓶装1千克的某饮料，标准差为0.02千克，现随机 抽取36瓶进行检验，得平均重量为0.9962千克，问能否相信该厂 生产的饮料每瓶重量为1千克。(=0.05)例2西北政法大学经管学院（二）总体方差未知，正态总体，小样本注：如果总体分布也未知，则没有适当的统计 量进行假设检验，唯一的解决办法是增大样本 ，以使样本均值趋向于正态分布，从而再采用Z 统计量。这时只能用 t 统计量进行假设检验：西北政法大学经管学院二、总体比例的假设检验大样本下，样本比例趋向于正态分布，因此 可通过构造Z统计量的方法进行假设检验：注： 1如果总体比例P未知，可用样本比例p替代 2、Z统计量只适合大样本情况下的总体比例 检验。西北政法大学经管学院假设检验中的其他问题一、区间估计与假设检验的关系1、区别：区间估计是依据样本资料估计总体的未知参数的 可能范围；假设检验是根据样本资料来检验对总体参数的先 验假设是否成立。西北政法大学经管学院区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度（ 可信度）1- 去估计总体参数的置信区间；假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性 水平 去