绝密 启用前 数 学(理工农医类) 第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 (1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为 A.1B.2C.1 或 2D.-1(2)设集合 A=x|1x x0 ,B=x|0x3,那么“mA”是“mB”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (3)设an是公比为正数的等比数列，若 n1=7,a5=16,则数列an前 7 项的和为 A.63B.64C.127D.128 (4)函数 f(x)=x3+sinx+1(xR),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3B.0C.-1D.-2(5)某一批花生种子，如果每 1 粒发牙的概率为4 5,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是A.16 625B. 96 625C. 192 625D. 256 625(6)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成 角的正弦值为A.6 3B. 2 6 5C. 15 5D. 10 5(7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女 生，那么不同的选派方案种数为 A.14B.24C.28D.48(8)若实数 x、y 满足 10,xy 则y x的取值范围是A.(0,1)B.0,1C.(1,+)D.1,(9)函数 f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数 y=-f(x)的图象，则m 的值可以为A.2B.C. D.2(10)在ABC 中，角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角 B 的值为A. 6B. 3C.6或5 6D. 3或2 3(11)又曲线22221xy ab （a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,(12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=_.(用数字作 答)x=1+cos(14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin （为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围是 .（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .（16）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、bR，都有 a+b、a-b， ab、a b P（除数 b0） ，则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域；数集 2,Faba bQ也是数域.有下列命题：整数集是数域；若有理数集QM，则数集 M 必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分 12 分）已知向量 m=(sinA,cosA),n=( 3, 1)，mn1，且 A 为锐角.（）求角 A 的大小；（）求函数( )cos24cossin ()f xxAx xR的值域.（18） （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD2，底面ABCD 为直角梯形，其中 BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点.（）求证：PO平面 ABCD； （）求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小；（）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为32？若存在，求出AQ QD的值；若不存在，请说明理由. （19） （本小题满分 12 分）已知函数321( )23f xxx .（）设an是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，其中 a1=3.若点2 11(,2)nnna aa(nN*)在函数 y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在 y=f(x)的图象上；（）求函数 f(x)在区间（a-1,a）内的极值. （20） （本小题满分 12 分）某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为2 3，科目 B 每次考试成绩合格的概率均为1 2.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（）求他不需要补考就可获得证书的概率；（）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望 E.（21） （本小题满分 12 分）如图、椭圆22221(0)xyabab 的一个焦点是 F（1，0） ，O 为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动，值有222OAOBAB,求 a 的取值范围.（22） （本小题满分 14 分）已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1（）求 f(x)的单调区间；（）记 f(x)在区间0,（nN*）上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx.（）如果对一切 n，不等式2 2nn ncaaa 恒成立，求实数 c 的取值范围；（）求证： 131321122424221 1.n n na aa aaaaaa aa aa A A AA A AA A A数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分. （1）B（2）A（3）C（4）B（5）B（6）D （7）A（8）C（9）A（10）D（11）B（12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分.（13）31（14）(,0)(10,)（15）9（16）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一 元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分 12 分.解：（）由题意得3sincos1,m nAAA12sin()1,sin().662AA由 A 为锐角得,.663AA（）由（）知1cos,2A 所以2213( )cos22sin1 2sin2sin2(sin).22f xxxxsx 因为 xR，所以sin1,1x ，因此，当1sin2x 时，f(x)有最大值3 2.当 sinx=-1 时，f(x)有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是33,2.（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本 知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分.解法一：（）证明：在PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点，所以 POAD,又侧面 PAD底面 ABCD,平面PAD平面 ABCD=AD, PO 平面 PAD，所以 PO平面 ABCD. （）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中、BCAD，AD=2AB=2BC, 有 ODBC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形， 所以 OBDC. 由（）知，POOB,PBO 为锐角， 所以PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 RtAOB 中，AB=1,AO=1,所以 OB2，在 RtPOA 中，因为 AP2，AO1，所以 OP1，在 RtPBO 中，tanPBO122,arctan.222PGPBOBC所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是2arctan2.（）假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为3 2.设 QDx，则1 2DQCSx ，由（）得 CD=OB=2，在 RtPOC 中， 222,PCOCOP所以 PC=CD=DP, 233( 2),42PCDSA由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2，所以存在点 Q 满足题意，此时1 3AQ QD .解法二：()同解法一.()以 O 为坐标原点，OC OD OP 、的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0), B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1),所以110111CDPB （，），（，）.所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos6 3，()假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为3 2，由()知( 1,0,1),( 1,1,0).CPCD 设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).则0,0,n CPn CD A A所以00000,0,xzxy 即000xyz， 取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).设(0, ,0)( 11),( 1, ,0),QyyCQy 由3 2CQ nnA，得13,23y 解 y=-1 2或y=5 2(舍去)，此时13,22AQQD ，所以存在点 Q 满足题意，此时1 3AQ QD .(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数 学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分 12 分.()证明：因为321( )2,3f xxx 所以f(x)=x2+2x,由点2 11(,2)(N )nnna aan 在函数 y=f(x)的图象上,又0(N ),nan所以11()(2)0,nnnnaaaa所以2(1)32=22nn nSnnn ,又因为f(n)=n2+2n,所以( )nSfn,故点( ,)nn S也在函数 y=f(x)的图象上.()解:2( )2(2)fxxxx x,由( )0,fx得02xx 或.当 x 变化时,( )fx( )f x的变化情况如下表:注意到(1)12aa ,从而当212,21, ( )( 2)3aaaf xf 即时的极大值为 ,此时( )f x无极小值；当10,01, ( )aaaf x 即时的极小值为(0)2f ,此时( )f x无极大值；x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当2101, ( )aaaf x 或或时既无极大值又无极小值.(20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能 力.满分 12 分.解:设“科目 A