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2008 年全国中考数学压轴题精选年全国中考数学压轴题精选(九九)81.(08 广东茂名广东茂名 25 题)题) (本题满分 10 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=32x2+bx+c经过 A(0,4) 、B(x1,0) 、 C(x2,0)三点,且x2-x1=5(1)求b、c的值;(4 分)(2)在抛物线上求一点 D,使得四边形 BDCE 是以 BC 为对 角线的菱形;(3 分)(3)在抛物线上是否存在一点 P,使得四边形 BPOH 是以OB 为对角线的菱形?若存在,求出点 P 的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在,请说明理由 (3 分)解: (08 广东茂名广东茂名 25 题解析)题解析)解:(1)解法一:抛物线y=32x2+bx+c经过点 A(0,4) ,c=4 1 分又由题意可知,x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个根,x1+x2=23b, x1x2=23c=62 分由已知得(x2-x1)2=25又(x2-x1)2=(x2+x1)24x1x2=49b224 49b224=25 解得b=3143 分当b=314时,抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上,不合题意,舍去b= 314 4 分解法二:x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个根,(第 25 题图)AxyBCO即方程 2x23bx+12=0 的两个根x=4969b32b,2 分x2x1=2969b2=5,解得 b=3143 分(以下与解法一相同 ) (2)四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形,根据菱形的性质,点 D 必在抛物线的对称轴上, 5 分又y=32x2314x4=32(x+27)2+6256 分抛物线的顶点(27,625)即为所求的点 D7 分(3)四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形,点 B 的坐标为(6,0) ,根据菱形的性质,点 P 必是直线x=-3 与抛物线y=32x2-314x-4 的交点, 8 分当x=3 时,y=32(3)2314(3)4=4, 在抛物线上存在一点 P(3,4) ,使得四边形 BPOH 为菱形 9 分四边形 BPOH 不能成为正方形,因为如果四边形 BPOH 为正方形,点 P 的坐标只能是(3,3) ,但这一点不在抛物线上10 分82.(08 广东肇庆广东肇庆 25 题)题) (本小题满分 10 分)已知点 A(a,1y) 、B(2a,y2) 、C(3a,y3)都在抛物线xxy1252上.(1)求抛物线与 x 轴的交点坐标;(2)当 a=1 时,求ABC 的面积;(3)是否存在含有1y、y2、y3,且与 a 无关的等式?如果存在,试给出一个,并加以证明;如果不存在,说明理由.(08 广东肇庆广东肇庆 25 题解析)题解析) (本小题满分 10 分)解:(1)由 5xx122=0,(1 分)得01x,5122x (2 分)抛物线与 x 轴的交点坐标为(0,0) 、 (512,0) (3 分)(2)当 a=1 时,得 A(1,17) 、B(2,44) 、C(3,81) ,(4 分)分别过点 A、B、C 作 x 轴的垂线,垂足分别为 D、E、F,则有ABCS=SADFC梯形-ADEBS梯形 -BEFCS梯形 (5 分)=22)8117(-21)4417(-21)8144((6 分)=5(个单位面积)(7 分)(3)如:)(3123yyy (8 分)事实上,)3(12)3(52 3aay =45a2+36a 3(12yy )=35(2a)2+122a-(5a2+12a) =45a2+36a(9 分))(3123yyy (10 分)83.(08 辽宁沈阳辽宁沈阳 26 题)题) (本题(本题 14 分)分)26如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且1AB ,3OB ,矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD点A的对应点为点E,点B的对应点为点F,点C的对应点为点D,抛物线2yaxbxc过点AED,(1)判断点E是否在y轴上,并说明理由; (2)求抛物线的函数表达式;(3)在x轴的上方是否存在点P,点Q,使以点OBPQ,为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的 2 倍,且点P在抛物线上,若存在,请求出点P,点Q的坐标;若不存在,请说明理由(08 辽宁沈阳辽宁沈阳 26 题解析)题解析)解:(1)点E在y轴上1 分 理由如下:连接AO,如图所示,在RtABO中,1AB ,3BO ,2AO1sin2AOB,30AOB由题意可知:60AOEyxO第 26 题 图DECFAB306090BOEAOBAOE 点B在x轴上,点E在y轴上3 分(2)过点D作DMx轴于点M1OD ,30DOM在RtDOM中,1 2DM ,3 2OM 点D在第一象限,点D的坐标为3 1 22 ,5 分由(1)知2EOAO,点E在y轴的正半轴上点E的坐标为(0 2),点A的坐标为(31),6 分抛物线2yaxbxc经过点E,2c 由题意,将(31)A ,3 1 22D ,代入22yaxbx中得33213312422abab解得8 9 5 3 9ab 所求抛物线表达式为:285 3299yxx 9 分(3)存在符合条件的点P,点Q10 分理由如下:矩形ABOC的面积3AB BOA以OBPQ,为顶点的平行四边形面积为2 3由题意可知OB为此平行四边形一边,又3OB OB边上的高为 211 分依题意设点P的坐标为(2)m,点P在抛物线285 3299yxx 上285 32299mm解得,10m ,25 3 8m 1(0 2)P,25 328P,以OBPQ,为顶点的四边形是平行四边形,PQOB,3PQOB,当点1P的坐标为(0 2),时,点Q的坐标分别为1(3 2)Q ,2( 3 2)Q,;当点2P的坐标为5 328,时,点Q的坐标分别为313 328Q,43 328Q ,
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