2009 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案数学（文史类）一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 lo的值为 （ D）2g2A- B. C. D. 221 21 22. 抛物线=18x 的焦点坐标是 （ B）2yA （2，0） B. （-2，0） C. （4，0） D. （-4，0）3设是等差数列的前 n 项和，已知=3，=11，则等于 （C）nsna1a5a7sA13 B. 35 C. 49 D. 63 4如图 1 D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则图 1（A）A+ + =0AD BE CF B=0BDCEDF C=0ADCECF D=0BDBEFC 5某地政府召集 5 家企业的负责人开会，甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会， 会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为（B） A14 B. 16 C.20 D. 486平面六面体 ABCD- 中，既与 AB 共面也与 C共面的棱的条数为（C）1A1B1C1D1CA3 B. 4 C.5 D. 6 7若函数 y=f(x)导函数在区间a,b是增函数，则函数 y=f(x)在区间a,b上的图象可 能是（A）8. 设函数在内有定义，对于给定的正数 K，定义函数( )yf x(,) ( ),( ) ,( )( )f xf xk kk f xkfx 取函数。当 K=时，函数的单调递增区间为( )2xf x1 2( )kfxA B C D （C）(,0)(0,)(, 1) (1,)二 填空题：本大题共七小题，没小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上。9 某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运 都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 10 若，则的最小值为0x 2xx2 211 在的展开式中，的系数为 6 4(1)xx12 一个总体分为 A.B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本。已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 120 1 1213 过双曲线 C：的一个焦点作圆的两条切线22221xy ab(0,0)ab222xya切点分别为 A.B，若（O 是坐标原点） ，则双曲线线 C 的离心率为 2 120AOB14 在锐角中，则的值等于 2 ，的取值范围ABC1,24,BCBcosAC AAC为 ( 2, 3)15 如图 2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若，则ADxAByAC图 2312x 3 2y 三 解答题：每小题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16 （每小题满分 12 分）以知向量。(sin ,cos2sin ),(1,2)ab（1）若/，求的值。abtan（2）若求的值。,0,ab解 （1） 因为，所以，于是/ /ab2sincos2sin，故sincosatan=。1 4(II)由 =知，+（cos -2sin=5，所以ab2sin2)1-2sin2+4=5.2sin从而-2sin2+2（1-cos2=4，即 sin2+cos2 = -1，于是Sin（2+）= - .42 2又由 00， 在区间（，）内为增函数；1x1f( )f x 1x当x时，（x）0，在区间（，）内为减肥函数1x2x1f( )f x1x2x当时，（x）0，在区间（+，）内为增函数1x2x1f( )f x2x所以在 x=处取极大值，在 x=处取极小值( )f x1x1x因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以12c ( )f x2xx22tx于是的定义域为( )g t(2,)由得。于是/2( )3120ftttc2312ctt 3232( )( )626 ,(2,)g tf tttctttt 当时，所以函数在区间内是减函数，2t /2( )6126 (2)0,g ttttt ( )g t(2,)故的值域为( )g t(,8).20 （本小题满分 13 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆x 边形是一个面积为 8 的正方形（记为 Q） （1）求椭圆 C 的方程： （2）设点 P 是椭圆 C 的左准线与轴的交点，过点 P 的直线 L 与椭圆 C 相交于x M.N 两点，当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内（包括边界）时，求直线 L 的 斜率的取值范围。解 （1） 依题意，设椭圆 C 方程为焦距为，由题设条件22221(0),xyabab2c知，所以28,abc2214.2ba故椭圆 C 的方程式为22 184xy（3）椭圆 C 的左准线方程为所以点 P 的坐标，显然直线 L 的斜率4,x ( 4,0)存在，所以直线 L 的方程为。k(4)yk x如图，设点 M，N 的左边分别为线段 MN 的中点 G，1122( ,),(,),x yxy00(,)xy由得22(4)184ykx xy=，0x 12 2xx228 12k k0024(4)12kyk xk因为0，所以点 G 不可能在 y 轴的右边，有直线,方程分0x 228 12k k12FB1F1B既 亦即2222224821212 4821212kk kk kk kk 2222102210kkkk 21.（本小题满分 13 分）对于数列若存在常数 M0,对任意的，恒有 nunN则称数列为 B-数列nu(I)首项为 1，公比为的等比数列是否为 B-数列？请说明理由;1 2请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论；,则，于是解（I ）设满足题设的等比数列为 na11()2n na 122 11131()()*( ),22222nnn nnaan - +-+-1nanana1na2a1a所以首项为 1，公比为的等比数列是 B-数列1 2命题 1：若数列是 B-数列，则数列是 B-数列nxns此命题为假命题事实上设=1，nN，易知数列是 B-数列，但=n，nxnxns- +-+-=n1nsnsns1ns2s1s由 n 有的任意性知，数列不是 B-数列。ns命题 2：若数列是 B-数列，则数列不是 B-数列。nsnx此命题为真命题。事实上，因为数列是 B-数列，所以存在正数 M，对任意的nsnN，有- +-+-M1nsnsns1ns2s1s12.,nnxxxM既于是1121.nnnnxxxxxx1121122.222nnnxxxxxMx所以数列是数列。 nxB（注：按题中要求组成其它命题解答时，阐述解法）若数列是数列，则存在正数 M，对任意的有 naB,nN1121.nnnnaaaaaaM因为112211.nnnnnaaaaaaaa1122111.nnnnaaaaaaaMa，则有1KMa22 111()()nnnnnnaaaaaa111()2nnnnnnaaaaK aa因此 222222 1121.2nnnnaaaaaaKM故数列是数列 2 naB