第2讲 填空题的做法 1.填空题的类型填空题是高考中客观性题型之一，一般有四至五道 题，填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以 及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解 过程而只需要写出结论等特点.从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写.2.填空题的特征填空题就是不要求写出计算或推理过程，只需要将 结论直接写出的“求解题”.填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不 足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活.从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因 为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.3.解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”.解填空题的常用方法有：直接法、特例法、数形结合法等.一、 直接法 直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法. 例1 （2009海口模拟）在等差数列an中，a1=-3，11a5=5a8-13，则数列an的前n项和Sn的最小值为 .思维启迪 计算出基本量d，找到转折项即可.解析 设公差为d，则11(-3+4d)=5(-3+7d)-13，d= .数列an为递增数列.令an0，-3+（n-1） 0，n ，nN*，前6项均为负值，Sn的最小值为S6=- .答案 探究提高 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值.变式训练1 （2009全国理，14）设等差数列an的前n项和为Sn,若S9=72，则a2+a4+a9= .解析 设等差数列的首项为a1，公差为d,则a2+a4+a9=a1+d+a1+3d+a1+8d=3(a1+4d),又S9=72，S9=9a1+ d=9(a1+4d)=72,a1+4d=8,a2+a4+a9=24. 24二、 特例法 特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程 是从特殊到一般，优点是简便易行.当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母 具体化，把一般形式变为特殊形式.当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效. 例2 （2009东营调研）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则 = .思维启迪 由题意知，本题结果与ABC的形状无关，只需取符合要求的特殊值即可.解析 方法一 取特殊值a=3,b=4,c=5，则cos A=,cos C=0, .方法二 取特殊角A=B=C= ,cos A=cos C= ,.答案 探究提高 特殊化是求解填空题的常用技巧之一，当填空题题设条件中虽含有某些不确定量，但填空题结论唯一或题设条件暗示答案为定值时，可以考虑采用特殊化技巧.在解题过程中，将题中变化的不定量选取适当特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊方程、特殊模型，或图形的特殊位置，特殊点等）进行处理，从而快速得出结论，大大简化推理论证过程. 变式训练2 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A、B两点，且|AB|= ，则 = .解析 特殊化，取a=1,b=0,c=- ,设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则x1=x2= ,y1y2=- =- , =x1x2+y1y2= - =- .三、 转化法 有的题目可以将命题转化，使问题化繁为简、化陌生 为熟悉，从而将问题解决.例3 若数列an中，a1=1,an+1=3Sn(n1)，则Sn= .解析 方法一 an+1=3Sn(n1),an=3Sn-1(n2),-得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an(n2),an+1=4an(n2)，又a2=3S1=3a1=3， =4(n2)，a2,a3,an是首项为3，公比为4的等比数列，Sn=当n=1时，4n-1=1，即Sn=4n-1(n1).方法二 an+1=3Sn(n1)，Sn+1-Sn=3Sn（n1），即Sn+1=4Sn（n1），又S1=a1=1， =4（n1），即Sn是首项为1，公比为4的等比数列.Sn=4n-1（n1）.答案 4n-1探究提高 以上两种解法体现了对关系式an+1=3Sn（n1）的两种不同的处理方法，方法一是消去Sn，此时要用变量观点看待关系式an+1=3Sn（n1），先得到其姊妹式an=3Sn-1（n2），然后通过两式相减得到an+1与an的关系式，再对an+1与an的关系式进行处理，求出an的通项公式，进而求出Sn.方法二是利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1从而得到Sn+1与Sn的关系式，通过研究数列Sn的特性，再求出其通项公式.变式训练3 二次函数y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表：则不等式ax2+bx+c0的解集是 .解析 据表中可得c=-6,ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-2,x2=3, =-6得a=1,- =-2+3得b=-1y=x2-x-6,x2-x-60的解集是(-,-2)(3,+).(-,-2)(3,+)x-3-2-10234y60-4-6-406四、 图象分析法（数形结合法） 依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这 类问题的几何意义一般较为明显.由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正 确的答案.事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用图解法解题既浅显易懂，又能节省时间.利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为 近年来高考考查的热点内容. 例4 已知A=x|-2xa，B=y|y=2x+3，xA，C=z|z=x2，且xA，若C B，则实数a的取值范围为 .解析 y=2x+3在-2,a上是增函数，-1y2a+3，即B=y|-1y2a+3.作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如图所示.当-2a2时，0za2，即C=z|0za2,要使C B，只需 解得20，所以直线越向上z值越大，当- -1时，z在A点取最大，zmax=b1,当- 时，有2个实根.综上所述，可知实根个数最多为4个.44.离心率为黄金比 的椭圆称为“优美椭圆”. 设 =1(ab0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则 ABF = .解析 本题主要考查“优美椭圆”的相关知识，它必然具有椭圆的相关性质，不妨设c= -1， a=2，B为椭圆的短轴的一个上端点，则b= .有F（1- ，0），A（2，0），B（0， ）.所以 =（2，- ）, =(1- ,- ).则 =0，所以夹角为90，即ABF=90.905.已知等差数列an的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则 = .解析 由已知得 =a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),a1=d, .6.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， =m（ ）,则实数m= .解析 （特殊值法）当B=90时，ABC为直角三角形，O为AC中点.AB、BC边上高的交点H与B重合.，m=1.17.圆x2+y2=1的任意一条切线l与圆x2+y2=4相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，O为坐标原点，则x1x2+y1y2= .解析 如图，AOB中，OA=OB=2，OCAB，OC=1，因此AOB=120.所以x1x2+y1y2= =| | |cos 120=-2.-28.直线y=kx+3k-2与直线y=- x+1的交点在第一象 限，则k的取值范围是 .解析 因为y=kx+3k-2，即y=k(x+3)-2，故直线过 定点P（-3，-2），而定直线y=- x+1在两坐标轴 上的交点分别为A（4，0），B（0，1）.如图所示，求得 0时的图 象，其图象呈周期变化，然后再由参数a的意义使图象作平移变换，由此确定-a的取值范围，最后求出a的取值范围.（-,2）10.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-x的解集为（1，2），若f(x)的最大值为正数，则a的取值范围是 .解析 二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-x的解集为（1，2），即不等式f(x)+x0的解集为(1,2),则设f(x)+x=a(x-1)(x-2)(ax的解集为 .解析 令y1= ,y2=x，则不等式 x的解就是使y1= 的图象在y2=x的上方的那段对应的横坐标.如图所示：不等式的解集为x|xAx0,- )的图象如下图所示，则 = .解析 由图象知函数y=sin( x+ )的周期为.当x= 时，y有最小值-1，因此 (kZ).- , .15.对于满足0p4的一切实数x，不等式x2+px 4x+p-3恒成立，则x的取值范围是 .解析 由不等式x2+px4x+p-3恒成立.得（x-1）p+x2-4x+30恒成立.构造函数f（p）=（x-1）p+x2-4x+3.当x=1时，f（p）=0，不满足f（p）0.f（p）表示p的一次函数，p0，4函数f（p）的图象是一条线段，要使f（p）0 在0，4上恒成立，需满足 ，即解得x-1或x3.所以x的取值范围是（-，-1）（3，+）.答案 （-，-1）（3，+）返回