北京市朝阳区20092010 学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学试题（文史类）2010.4 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上. 考试结束时，将 试题卷和答题卡一并交回. 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上.第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1复数等于（ 22(1) i i）A2B-2CD2i2i2命题，则（ :0,sin1pxx 都有）AB :0,sin1pxx 使得1sin, 0:xxp使得CD :0,sin1pxx 使得1sin, 0:xxp使得3满足的取值范围是（ 22 21( )log 42xx成立的）AB |1x x 3|xxCD3|xx1|xx4下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ 3x）AB)32sin(xy)62sin(xyCD)62sin(xy)32sin(xxy5一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行. 若蜜蜂在飞行过程中与正 方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10，则就有可能撞到玻璃上而不安 全；若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的，假设 蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是 （ ）ABCD81 161 271 836右图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字 09 中的一个） ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的m平均数分别为，则一定有（ 21,aa）A21aa B21aa C21aa D的大小与的值有关21,aam7设表示两者中的较小者，若函数，则|,|minqp, pqlog,3min)(2xxxf的解集为（ 21)(xf）AB （0，+）),25()2, 0(CD),25()2 , 0(),2(8如图，设平面，垂足分别为 B，D，且，如CDABEF,CDAB 果增加一个条件就能推出，给出四个条件：EFBD ；AC 与 BD 在内的正投影在同一条直线上；AC 与ACEFAC BD 在平面内的正投影所在直线交于一点. 那么这个条件不可能是 （ ） A B C D第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上.9函数的最大值是 .xxycossin10在抛物线上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则的值为 .)0(22ppxyp11左下程程序图的程序执行后输出的结果是 .12如右上图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为 1 的正方形，俯视图是一 个直径为 1 的圆，那么这个几何体的全面积为 .13圆截得的劣弧所对的圆心角的大小为 .0323422yxyx被直线14一个数字生成器，生成规则如下：第 1 次生成一个数，以后每次生成的结果可将上x一次生成的每一个数生成两个数，一个是 x，另一个是，设第次生x3x)(*Nnn成的数的个数为，则数列的前项和 ；若，前次生成所有nanannS1xn数中不同的数的个数为 .4,TTn则三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15 （本题满分 13 分）在中，角 A、B，C 所对的边分别为，且ABCcba,.55sin,43AC（1）求的值；BA sin,cos（2）若的值.baab,22求16 （本小题满分 13 分）袋子中装有编号为的 2 个黑球和编号为的 3 个红球，从中任意摸出 2 个球。ba,edc,（1）写出所有不同的结果；（2）求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率；（3）求至少摸出 1 个黑球的概率.17 （本小题满分 13 分） 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，每个侧面均为正方形，D、E 分别为侧棱 AB、CC1的中点，AB1与 A1B 的交点为 O.（1）求证：CD/平面 A1EB；（2）求证：平面 A1EB.1AB18 （本小题满分 14 分）已知函数.,33)(23Rmxxmxxf（1）若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的1)(xxf在m)(xf)1 (, 1 (fM切线方程；（2）设，若函数在（2，+）上存在单调递增区间，求的取值范围.0m)(xfm19 （本小题满分 13 分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆 C 的离心率为，且经过点，过点x21)23, 1 (MP（2，1）的直线 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B.l（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存直线 ，满足？若存在，求出直线 的方程；若不存在，l2PMPBPAl请说明理由.20 （本小题满分 14 分） 若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列。已知数列是调和数列，对于各项都是正数的数列，满足nanx)(* 2121NnxxxnAAn nn nn n （1）求证：数列是等比数列；nx（2）把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三nx角形数表，当 时，求第行各数的和；128, 823xxm（3）对于（2）中的数列，若数列满足nxnb，求证：数列为等差数列.)(4444*1111321Nnxnnb nbbbbnb参考答案一、选择题：15CABBC 68BAD 二、填空题：9 102 1155 12 13 14 102123 312 n三、解答题： 15 （本小题满分 13 分）解：（1）因为55sin,43AC所以552sin1cos2AA由已知得AB4所以AAABsin4coscos4sin)4sin(sin7 分1010 55 22 552 22（2）由（1）知，1010sinB根据正弦定理Aa Bb sinsin得.2ba 又因为 13 分2, 2,22baba所以16 （本小题满分 13 分）解：（1） 3 分.,dececdbcbdbcaeadacab（2）记“恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球”为事件 A，则事件 A 饮食的基本事件为，共 6 个基本事件，所以,bebcaeadac8 分6 . 0106)(AP答：恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率为6 . 0（3）记“至少摸出 1 个黑球”为事件 B，则事件 B 包含的基本事件为，共 7 个基本事件，bebdbcaeadacab,所以7 . 0107)(BP答：至少摸出 1 个黑球的概率为 13 分7 . 0 17 （本小题满分 13 分） 证明：（1）连接 OD， 因为 O 为 AB1的中点，D 为 AB 的中点，所以 OD/BB1，且121BBOD 又 E 是 CC1中点， 则 EC/BB1且，121BBEC 即 EC/OD 且 EC=OD。 则四边形 ECDO 为平行四边形，所以 EO/CD。又平面 A1BE，平面 A1BE，CDEO 则 CD/平面 A1BE 7 分（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，BCBBABBB11,所以 BB1 平面 ABC因为平面 ABC，所以 BB1 CDCD 由已知得 AB=BC=AC， 所以 CD AB 所以 CD 平面 A1ABB1。 由（1）可知 EO/CD， 所以 EO 平面 A1ABB1，所以 EO AB1 因为侧面是正方形，所以 AB1 A1B又平面 A1EB，EOOBAEO,1平面 A1EBBA1所以 AB1 平面 A1BE。 13 分 18 （本小题满分 14 分）（1）解：. 363)(2xmxxf因为函数处取得极值，1)(xxf在所以. 3, 0) 1(mf解得于是函数. 369)(, 3) 1 (,333)(223xxxffxxxxf函数在点 M（1，3）处的切线的斜率)(xf.12) 1 ( fk则在点 M 处的切线方程为 6 分)(xf0912 yx（2）当时，0m是开口向下的抛物线，363)(2xxxf要使在（2，+）上存在子区间)(xf 使，应满足0)( xf. 0)1(, 21, 0mfmm蔌 0)2(, 21, 0fmm解得，21 43, 021mm或所以的取值范围是 14 分m)0 ,43(19 （本小题满分 13 分）（1）设椭圆 C 的方程为，)0( 12222 baby ax由题意得22222211491cbaacba解得，3, 422ba故椭圆 C 的方程为 5 分13422 yx（2）若存在直线 满足条件，设直线 的方程为ll1)2(xky由 1)2(, 13422xkyyx得081616) 12(8)43(222kkxkkxk因为直线 与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，l设 A，B 两点的坐标分别为2211,yxyx所以. 0)81616()43(4)12(8222kkkkk整理，得0)36(32k解得.21k又22212214381616,43) 12(8 kkkxxkkkxx且2PMPBPA即45) 1)(1()2)(2(2121yyxx所以22 21|)1)(2)(2(PMkxx45即.45)1(4)(22 2121kxxxx所以45 4344)1(443) 12(82438161622 2 222 kkkkkk kkk解得21k所以，21k于是，存在直线 满足条件，其方程为 13 分lxy2120 （本小题满分 14 分）解：（1）证明：因为，2 21 1 nnna na na nxxx且数列中各项都是正数，|nx所以,lglglg2211nnnnnnxaxaxa设 pxaxaxannnnnn2211lglglg因为数列是调和数列，na故21112, 0nnnnaaaa所以 212nnnap ap ap由得，2 21 3lg,lg,lg n nn nn nxapxapxap代入式得，所以21lglglg2nnnxxx即)lg(lg22 1nnnxxx故，22 1nnnxxx所以数列是等比数列. 5 分|nx（2）设的公比为， |nxq则24 3xqx即0.12884nxq由