20092009 届高考数学压轴题预测届高考数学压轴题预测专题六 导导 数数1.设函数2( )ln()f xxax， （1）若当1x 时，( )f x取得极值，求a的值，并讨论( )f x的单调性；（2）若( )f x存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2解析：（1）1( )2fxxxa，依题意有( 1)0f ，故3 2a 从而2231(21)(1)( )33 22xxxxfx xx ( )f x的定义域为3 2，当312x 时，( )0fx；当112x 时，( )0fx；当1 2x 时，( )0fx从而，( )f x分别在区间31122 ，单调增加，在区间112，单调减少（2）( )f x的定义域为()a，2221( )xaxfxxa方程22210xax 的判别式248a 若0 ，即22a，在( )f x的定义域内( )0fx，故( )f x的极值若0 ，则2a或2a 若2a ，(2)x ，2( 21)( )2xfxx 当2 2x 时，( )0fx，当22222x U，时，( )0fx，所以( )f x无极值若2a ，( 2)x，2( 21)( )02xfxx ，( )f x也无极值若0 ，即2a 或2a ，则22210xax 有两个不同的实根212 2aax ，222 2aax 当2a 时，12xaxa ，从而( )fx有( )f x的定义域内没有零点，故( )f x无极值当2a 时，1xa ，2xa ，( )fx在( )f x的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知( )f x在12xxxx，取得极值综上，( )f x存在极值时，a的取值范围为( 2)，( )f x的极值之和为222 1211221()()ln()ln()ln11 ln2ln22ef xf xxaxxaxa 答案： （1）3 2a ；（2）见详解。点评：本题主要考查对极值概念的理解以及对函数导数的综合运用。2.已知函数1)(2xbxaxxf在处取得极值 2。（）求函数)(xf的解析式；（）当 m 满足什么条件时，)(xf在区间) 12 ,(mm为增函数；（）若bxaxxfyxP200)(),(为函数图象上任意一点，直线bxaxxfL2)(与的图象切于 P 点，求直线 L 的斜率的取值范围。解：（）222)()()(bxxbaxf由已知 210)1 () 1(,2) 1 (0) 1 (2babbaff 14 ba14)(2xxxf （）11, 0) 1()1 (4)(222 xxxxf得是增函数在) 1 , 1()(xf又)(xf在上为增函数) 12 ,(mm01121121 mmmmm）（）直线 I 在 P 点的切线斜率22 02 022 02 0 0) 1(8 14 ) 1(44)(xxxxxfk令21)41(848, 10,1122 2 0tttktxt则当4,1,21,41maxminktkt时时421k）3.设12,x x是 321,032abf xxxx a bR a的两个极值点， f x的导函数是 yfx（）如果1224xx ，求证：23f ；（）如果1212,2xxx ，求b的取值范围 ；（）如果2a ，且21122,xxxx x时，函数 22g xfxxx的最小值为 h a ，求 h a的最大值。（I）证明： 211fxaxbx 12,x x是方程 0fx的两个根 1 分由1224xx且0a 得 2042101 40164302fab fab 2 分 132 得420ab 242114233fabab 3 分（）解：由第（1）问知121211bxxaxxa 由120xx ，两式相除得121212111xxbxxxx即12111bxx 4 分当102x时，由122100xxxa 212xx 即212xx111112bxx ， 10,2x 5 分令函数 11102xxxx ，则 22110 2xxx x在0,上是增函数当10,2x 时， 111121244bx ，即1 4b 7 分当120x 时，20x 122xx 即212xx1 11111,2,02bxxx 令函数 11102xxxx 则同理可证 x在,0上是增函数当12,0x 时， 1724bx 综所述，b的取值范围是17,44（）解： 0fxQ的两个根是12,x x ，可设 12fxa xxxx 1222122g xa xxxxxxa xxxxa10 分1221,0,0xx xxxxx Q 又1220axxa 212122g xa xxxxa xxxxaa22122 11(1)22xxaaaaaa g(x) 1(2) aa当且仅当212xxxxa ，即12 11112xxxxaa 时取等号 1(2) 2 h aaaa当2a 时， 21(1)0 h aa h a在2,上是减函数 max922 h ah