“抛物线极其标准方程”教学设计【教学指导思想与理论依据】数学课程标准明确指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。 ”而过程性目标则确定为“经历” 、 “体验”和“探索”三个方面。故教学过程则应是学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达，探索未知领域，寻找客观真理，成为发现者，学生自始至终地参与这一探索过程，发展创新能力。而教师则应是向学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学。数学的价值不在模仿而在创新，数学的本质不是技能而是思想。数学学习过程不能只是一个遵照指令进行程序操作的过程，而是一个不断运用自己的知识经验进行自我建构的过程。学生需要的，不是去复制别人的数学而是去建构自己的数学。因此亲历探究发现过程，不仅仅是一种获取知识的教学手段，而本身就是数学的重要目的。在教学反思和评价方面，除了教师自我反思以及对学生进行评价外，更要重视学生对自己学习活动的反思和自我评价，重视学生之间的相互评价，以培养学生的反思能力，以及根据反思的结果自觉进行自我调控的能力。【教材背景分析】1教材所处的位置及其前后联系人民教育出版社数学第二册（上）第八章第五节内容为抛物线，是在学生系统学习了椭圆标准方程和简单几何性质，以及双曲线标准方程和简单几何性质相关知识的基础上进行的。 “抛物线及其标准方程 ”一节内容主要是抛物线的概念的产生和抛物线标准方程(有四种形式)的推导，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，它有着广泛的应用，能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想，为后面用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，也是以后学习微积分的基础。因此本节内容起到一个承上启下的作用。2内容分析讲抛物线的定义，可以像讲椭圆、双曲线一样从画图开始，也可以直接从椭圆、双曲线的第二定义着手引入，这样定义抛物线，便于导出它的标准方程，也能够使学生开始就直观的感受到抛物线与椭圆、双曲线之间的联系，并为后面对圆锥曲线进行小结做好准备，故本次课设计按第二种方案进行。抛物线及其标准方程这部分内容共分为以下四个层次：第一层次通过教师动画演示，学生探索抛物线定义平面内与一个定点 和一条定直线 的距Fl离相等的点的轨迹称为抛物线。第二层次建立合理坐标系，推导出焦点在 正x半轴上的抛物线的标准方程；第三层次由学生探究焦点不在 正半轴上的抛物x线的标准方程；第四层次理解焦参数 的几何意义；能根据条件求出抛物线的p标准方程；会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程；3.学情分析本次授课班级是十二中高二平行班中的两个普通班，数学基础不是十分扎实，而思维的灵活性也有所欠缺。但是对前后知识间的联系、理解、应用还是基本能够达到要求。根据以上特点，教学要按步就班，不要急于求成，要充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。教师应加以积极引导，使其对标准方程的推导加以理解，并会加以应用。4.媒体资源运用几何画板演示，PPT 课件辅助【教学目标】知识与技能：掌握抛物线的定义、标准方程及其简单应有；对适当选取平面直角坐标系进行标准方程的推导的分析，培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。过程与方法：在学习抛物线定义及其标准方程的过程中，使学生体会数学的简洁、对称、和谐的美；同时，在适当选取平面直角坐标系进行标准方程的推导时，培养学生数形结合、分类讨论的数学思想。情感、态度与价值观：面向全体学生，创造良好平等的氛围，发挥学生的主体作用，调动学生的主动性和积极性，激发学生学习的兴趣。 【教学重点、难点】教学重点：根据抛物线定义推导标准方程；教学难点：四种形式的标准方程的由来和区分。【教学过程设计】看学生能否推导得出结论否PPt课件展示【教学过程】（一）设置情景，引发探究1课件演示：用几何画板设置一个直观性问题情景，已知 F 是平面上一个定点，是平面上不过点 F 的一条定直线，点 M 到定点 F 的距离和到定直线 的距离的l l比是一个常数 e，改变这两个距离大小的关系（即常数 e 的大小） ，观察动点 M 的轨迹。课堂小结由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程；反之也会。引出四种位置上的抛物线标准方程表格对比异同提出研究问题，探究抛物线定义猜想标准方程，推导标准方程几何画板，动画演示例题 变式训练作业设计指导恰当的建系2学生交流：当 oe 1 时动点 M 得到的轨迹是椭圆；当 e1 时是双曲线。3引发探究：进而引发探究欲望：当 e=1 时，它又是什么曲线呢？设计意图：数学教学需要一定问题情景的支撑，恰当的问题情景能激起学生的情感体验，有利于学生学 习兴 趣的激发，也有利于学生良好数学 观的形成。因此，在教学中，应力求通过恰当问题情景的创设，让 学生 产生积极的学习心态，在具体的情景中实现知识的学 习。上述教学 设计通过信息技术设置一个直观性问题情景，激发了学生探究的欲望，这时学生自然地 产生了探究当动点到一定点距离与定直线距离相等（即 ）时点的轨迹到底是什么的强烈愿望。让学生在1e“观察”、 “思考” 、“探究” 等活动中，自己 发现问题、提出问题 。（二）观察归纳，形成定义1观察课件：当 e=1 时，曲线上的动点满足怎样几何特征？让学生通过独立思考和互相讨论，并交流看法。针对学生的回答进行引导，把学生的思维一步步引入发现规律的最近区域，最终使得学生发现：曲线上的点到定点的距离和到一条定直线的距离相等。2学生归纳：平面内与一个定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做l抛物线。点 F 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。l引导学生自己找出定义中的中心句和关键词。并与椭圆、双曲线的定义进行比较。3探究反思：在抛物线定义中，要注意定点 F 不在定直线 上。 若定点 F 在l定直线 上，则动点的轨迹又是什么图形呢？（此时退化为过 F 点且与直线 l l垂直的一条直线） 。设计意图：由上述直观性问题情景引出了抛物线定义，顺理成章。教学中处处注重师生之间的互动，注重学生观察、比 较、分析、概括能力的培养，注重反思环节的落实。通过学生亲身实践、主 动思维，让学生在 实践中得到体验，在反思中产生感悟，使学生学会思考并养成自主学习、勇于探索的良好习惯。通 过让学生动口参与教学活动，培养了学生自然观察的能力和数学语言的表达能力；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。（三）合作交流，导出方程1描点作图：在直线 l 上任取一点 P，连 PF，作 PF 的中垂线 m，过点 P 作 l 的垂线交 m 于 M，则 M 是轨迹上的一点；归纳得到轨迹的示意图2动画演示：在学生基本得到轨迹之后，教师借助于几何画板演示“动点轨迹”设计意图：抛物线的形成过程用动画演示让学生观察到由静止到运动，从孤立的点变成连续的曲线，使他 们从屏幕中真正看到了“ 轨迹”，使学生易于理解，记忆深刻， 为学习下一节“抛物线的性质”打下了基础。让学生经历“从点到线” 的过程，从中训练学生的归纳 、直 觉思维。同时，突出点的特性也为后面求轨迹方程作了“铺垫 ”。3探究方程已知：抛物线的焦点为 ，准线F为 ，求：抛物线的方程l思考提示：ldMFrPmldMFrPyldMFrPxOK作为已知条件，焦点 到准线 的距离可以假设为 （已知） ；Flp从已知条件看，一般我们可以怎样取坐标系？（以 为轴）l设计说明：关于怎样取坐标系才能得到标准方程的问题，可以作开放的探究学习，但是不宜花太多时间 ，因 为在获得结果之前难 于对方程形式作预测，更何况这里的建系方式与一般求轨迹方程时的建系略有不同4方程推导：取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相交与点K，一线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，并且是焦点 F 在 x 轴的正半轴上，建立直角坐标系 oxy，如图所示。设抛物线的焦点 F 到准线的距离为 p，则 ，焦点 F 的坐标为 ，pK| )0,2(p准线 ，设抛物线上任意一点 ，则2:pxl),(yxM（同学们能看着此式说它的几何意义吗？）|)(y22)(pxpxy2因此， 就是“顶点在原点、焦点在 x 正半轴上”的抛物线的标)0(px准方程5深入探究：抛物线的标准方程的其它形式在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么抛物线的标准方程还有哪些不同形式？让学生分组求出其它三种形式的标准方程，师生协作，填充抛物线标准方程的分类表格图形 标准方程 焦点位置 焦点坐标 准线方程y2=2px（ p0）x 轴正半轴上 (p/2,0) x=-p/2y2=-2px(p0)x 轴负半轴上 (-p/2,0) x=p/26理解记忆：相同点 不同点1.顶点在原点；2.对称轴在坐标轴；3.顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为 。 的几何意义2p是焦点到准线的距离。4.焦点的非零坐标是一次项系数的 。141. 一次项变量为 x（y） ，则对称轴为x（y）轴；2. 焦点在 x（y）轴的正半轴上，开口向右（向上） ，焦点在 x（y）轴的负半轴上，开口向左（向下） ，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向。设计意图：教学过程是师生互相交流、共同参与的过程。数学通过交流，才能得以深入发展，数学思想才能 变得更加清晰；通过多边合作，又可以增强学生的合作能力与群体创造意识。教学中，只有在师生密切合作、共同探索的氛 围中数学交流才能得以真正实施。上述设计在探究抛物线标准方程时，通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动， 让学生体验合作交流探究的学习过程，并自 觉地建构起抛物线标准方程的知识系统。（四）练习反馈，巩固提高1分组出题：由于抛物线的标准方程只有四种形式，且每一种形式中只含有一个系数，故可以在此处命题。p类型 1根据条件，求抛物线方程；类型 2给出抛物线方程，求焦点坐标和准线方程。2解题应用x2=2py(p0)y 轴正半轴上 (0,p/2) y=-p/2x2=-2py（ p0）y 轴负半轴上 (0,-p/2) y=p/2探究：以抛物线 的焦半径 为直径的圆的性质。)0(2pxy|PF设计意图：第一种类型的题主要是对本节课基础知识进行巩固训练。教师对出题和解答完成好的小组给予积极的评价。同时要提示学生注意，在进行计算时，首先要将抛物线方程化成标准形式。而第二种 类型的问题则 是对学生能力的一个提高，对训练学生的观察、比较、分析、概括的思维能力有极大的帮助。（五）小结：（师生共同完成）1知识与能力：抛物线的定义以及抛物线的标准方程（注意四种形式的异同） ；观察、比较、分析、概括的思维能力；2思想与方法：数形结合、分类讨论的思想方法；解析几何的基本方法：坐标法；（六）布置作业：1阅读教材中相关内容；2探究：以抛物线 的焦点弦为直径的圆有何性质？)0(2pxy3 的几何意义是焦点到准线的距离，其实也是抛物线的定形条件。你能说p出焦参数 对抛物线的开口大小有什么影响吗？