第18章 隐函数定理及其应用 1 隐函数 一、 隐函数概念下面看隐函数的例子.二、隐函数存在性条件的分析三、隐函数定理ABA +BP0ABA +BP0例1. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解: 令则并求连续 ,由 定理可知,导的隐函数 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时导数的另一求法 利用隐函数求导例2. 设解法1 利用隐函数求导再对 x 求导解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导作业：P151, 1,2 , 3(2)(5), 5.四、隐函数问题举例(自练)2 隐函数组 一、 隐函数组概念二、隐函数组定理例2. 设解: 方程组两边对 x 求导，并移项得求练习: 求答案:由题设故有三、反函数组与坐标变换作业：P157, 1, 2(2), 3(1), 6.3 几何应用因本节讨论的曲线和曲面的方程以隐函数(组)给出，故在求它们 的切线(或切平面)时都要用到隐函数(组)的微分法。 一、 平面曲线的切线与法线例:求x2+y2=4在 (2,2)处的切线.二、 空间曲线的切线与法平面所求切线方程为法平面方程为三、 曲面方程的切平面与法线解令切平面方程法线方程小结： 平面曲线的切线和法线； 空间曲线的切线和法平面； 曲面的切平面和法线。 推导(含义),公式、运用。作业：P163, 2(2), 3(1), 5, 7.4 条件极值 一、 条件极值的概念以前所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义 域。但是，另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到 各自不同条件的限制。这种附有约束条件的极值问题称为条件极值问题，不带约束条件 的极值问题称为无条件极值问题。二、 拉格朗日乘数法过去把条件极值问题化为无条件极值问题.例如上述水箱设计问题.这样就把条件极值问题(4)、(5)转化为函数(10)的无条件极值问题 ，这种方法称为拉格朗日乘数法。 (10)中的函数L称为拉格朗日函数，辅助变量称为拉格朗日乘数。三、 例题解则练习2解得小结： 条件极值的概念； 拉格朗日乘数法的推导和理论； 拉格朗日乘数法的应用(解决条件极值问题):极值、最值、不等式,典型例题。 作业：P169, 1(3), 2(1), 3(1), 4(提示:仿例3).“第18章 隐函数定理及其应用”的习题课一、内容要求1、了解隐函数的概念，理解隐函数存在唯一性定理、可微性定理 ，掌握隐函数的求导法2、了解隐函数组的概念，理解隐函数组定理、掌握求导法， 了解反函数定理与坐标变换3、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与与法平面， 曲面的切平面与法线4、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题(极值、最值、不等式 )二、作业问题P151，1，2； P158，6三、练习参考：P157，例4.11 设三个正数的和恒为常数，问它们取何值时其乘积最大？