第六章 二次型与二次曲面6.1 二次型及其标准形6.2 正定二次型6.3 曲面及其方程6.4 二次曲面n 曲面和曲线的一般方程 S S1 1 F F( (x x, , y y, , z z) ) F F( (x x, , y y, , z z) = 0 ) = 0 F F( (x x, , y y, , z z) = 0 ) = 0 G G( (x x, , y y, , z z) = 0) = 0 x x = = x x( (t t) ) y y = = y y( (t t) ) z z = = z z( (t t) ) 曲面的一般方程曲面的一般方程: : 曲线的一般方程曲线的一般方程: : 曲线的参数方程曲线的参数方程: : 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.3 6.3 曲面及其方程曲面及其方程G G( (x x, , y y, , z z) ) C CS S2 2( (x x x x0 0) )2 2+ ( + (y y y y0 0) )2 2+ ( + (z z z z0 0) )2 2= = r r2 2第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.3 6.3 曲面及其方程曲面及其方程 n 球面及其方程n 柱面及其方程n 旋转曲面方程n n 投影投影曲线方程曲线方程HH( (x x, , y y) )= 0 = 0 z z = 0 = 0 F F( (x x, , y y, , z z) = 0 ) = 0 G G( (x x, , y y, , z z) = 0 ) = 0 曲线曲线C C: : 在在xOyxOy面面的的投影曲线投影曲线 x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2+ + z z2 2c c2 2= 1 (= 1 (a a0, 0, b b0, 0, c c0) 0) n 椭球面截痕法x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2 z z2 2c c2 2= = 0 0 ( (a a0, 0, b b0, 0, c c0) 0) O O x x y y z z y y2 2b b2 2 z z2 2c c2 2= 0, = 0, x x = 0, = 0,x x2 2a a2 2 z z2 2c c2 2= 0, = 0, y y = 0, = 0,x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= = 0 0 z z = 0, = 0,y y = = bzbz c c x x = = azaz c c 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面 n 二次锥面z z = = h h, ,x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= = h h2 2c c2 2当h 0 时，该交线是椭圆； 当h = 0 时，该交线是原 点。所以，二次锥面也叫椭圆锥 面。O O x x y y z z a a b b x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2 z z2 2c c2 2= = 1 1 ( (a a0, 0, b b0, 0, c c0) 0) y y2 2b b2 2 z z2 2c c2 2= 1 = 1 x x = 0, = 0,x x2 2a a2 2 z z2 2c c2 2= 1 = 1 y y = 0, = 0,x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= 1 = 1 z z = 0, = 0,第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面 n 单叶双曲面双曲线椭圆z z = = h h, ,x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= = 1+ 1+ h h2 2c c2 2x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2 z z2 2c c2 2= = 1 1 ( (a a0, 0, b b0, 0, c c0) 0) O O x x y y z z c c y y2 2b b2 2 z z2 2c c2 2= = 1 1 x x = 0, = 0,x x2 2a a2 2 z z2 2c c2 2= = 1 1 y y = 0, = 0,x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= = 0 0 z z =|=|c| c|, ,第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面 n 双叶双曲面双曲线z z = = h h, ,x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= = 1 1 h h2 2c c2 2椭圆|h| c 时, |h|越大,椭圆越大|h| = c时,椭圆退缩成点.x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= = z z ( (a a0, 0, b b0) 0) O O x x y y z z y y2 2b b2 2z z = = x x = 0, = 0,y y = 0, = 0,x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= = 0 0 z z = 0, = 0,x x2 2a a2 2z z = = 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面 n 椭圆抛物面x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= = z z抛物线z z = = h h, ,x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= = h h h 越大,椭圆曲线也越大h = 0时,椭圆退缩成点. 椭圆O O x x y y z z x x2 2a a2 2 y y2 2b b2 2= = z z( (a a0, 0, b b0)0)y y2 2b b2 2z z = = x x = 0, = 0,h h2 2a a2 2 y y2 2b b2 2z z= = x x = = h h, ,第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面 n 双曲抛物面表示过原点，开口朝 z 轴负方向的抛物线。开口朝 z 轴负方向的抛物线。O O x x y y z z x x2 2a a2 2 y y2 2b b2 2= = z z( (a a0, 0, b b0)0)y y = 0, = 0,y y = = h h, ,x x2 2a a2 2z z = = 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面 n 双曲抛物面表示过原点，开口朝 z 轴正方向的抛物线。开口朝 z 轴正方向的抛物线。x x2 2a a2 2 h h2 2b b2 2z z= = O O x x y y z z x x2 2a a2 2 y y2 2b b2 2= = z z( (a a0, 0, b b0)0)(马鞍面) x x2 2a a2 2 y y2 2b b2 2= = h h z z = = h h, ,第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面 n 双曲抛物面当h 0 时，是实轴是 x 轴的双曲线 当h 0, 0, b b0, 0, c c0) 0) x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2 z z2 2c c2 2= = 0 0二次锥面x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2 z z2 2c c2 2= = 1 1单叶双曲面x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2 z z2 2c c2 2= = 1 1双叶双曲面截痕法x x2 2a a2 2+ + y y2 2b b2 2= = z z椭圆抛物面x x2 2a a2 2 y y2 2b b2 2= = z z(马鞍面) 双曲抛物面n若已知二次曲面的标准方程，则容易画出 它的图形。椭球面椭球面二次锥面二次锥面单叶双曲面和双叶双曲面单叶双曲面和双叶双曲面椭圆抛物面和双面抛物面椭圆抛物面和双面抛物面n若二次曲面的方程不是标准方程，要通过 正交变换和平移变换把一般二次方程化为 标准方程，从而知道其图形。第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面 n 二次曲面的判别方法第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面 n 一般三元二次方程的化简a a1111a a1212a a1313a a1212a a2222a a2323a a1313a a2323a a3333x x y y z z B B = = b b1 1b b2 2b b3 3(x,y,z)+ (b1 1,b2 2,b3 3)x x y y z z + c = 0a a1111a a1212a a1313a a1212a a2222a a2323a a1313a a2323a a3333令令A A = = x x y y z z X X = = X XT TA AX X + + + + c c = 0 = 0 B BT TX X 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面 n 一般三元二次方程的化简X XT TA AX X + + + + c c = = 0 (1) 0 (1) B BT TX X A是实对称矩阵 正交矩阵P， 正交替换X=PY, Y=(x1,y1,z1)XTAX =YT(PTAP)Y =YTdiag(1, 2, 3)Y 二次型标准形 则方程(1)变成再令B BT TX X= = ( (d1 1,d2 2,d3 3), ), 1x12 + 2y12 + 3z12 + d1x1 + d2y1 + d3z1 + c = 0 将此方程配平方，再做平移变换，得二次方程标准形。第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面例4.1 将二次曲面化为标准方程，指出曲面 类型：第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面O O x x y y z z 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 6.4 6.4 二次曲面二次曲面f f( (x x, , y y, , z z) = 2) = 2x x2 2+ + y y2 2+ + z z2 2+ 2 + 2xyxy + + kyzkyz = 1 = 1 例例. . 求求k k的值使下面的方程表示一个的值使下面的方程表示一个椭球面. . 上述方程表示一个椭球面上述方程表示一个椭球面A正定, P P2 2= = 2 1 2 1 1 1 1 1 = 1 0, = 1 0, 而而P P1 1= 2 0, = 2 0, P P3 3= |= |A A| = 1| = 1