第二章 推理与证明第一节 合情推理与演绎推理题号12345答案一、选择题1(2009 年河池模拟)在古希腊毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第 n 个三角形数为( )An B. n(n1)12Cn21 D. n(n1)122. 凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形有 f(n1)条对角线数为( )Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n23设 f0(x)cos x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2011(x)( )Asin x Bcos xCsin x Dcos x4(2010 年福建三明期末)给出下面类比推理命题(其中 R 为实数集，C 为复数集)：“若 a，bR，则 ab0ab”类比推出“若 a，bC，则 ab0ab” ；“若 a，b，c，dR，则复数 abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dC，则复数 abicdiac，bd” ；“若 a，bR，则 ab0ab” 类比推出“若 a，bC，则 ab0ab” ；“若 a，bR，则 ab0a0 或 b0” 类比推出“若 a，bC，则ab0a0 或 b0” 其中类比结论正确的个数是( )A0 B1C2 D35(2009 年广州一模)如下图所示，面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi，若(i1，2，3，4)(i1，2，3，4)a11a22k，则.类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Sia33a444 i1(ihi)2Sk， 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi，若(i1，2，3，4)(i1，2，3，4)S11S22k，则( )S33S444 i1(iHi)A. B. C. D. 4Vk3Vk2VkVk二、填空题6有穷数列an，Sn为其前 n 项和，定义 Tn为数列an的“凯森和” ， 如果有 99 项的数列 a1、a2、a3、a99S1S2S3Snn的“凯森和”为 1000，则有 100 项的数列 1、a1、a2、a3、a4、a99的“凯森和”T100_.7在等比数列an中，若 a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n ，1 1,1 ，1 2，121213121314151617321213115你能得出怎样的结论，并进行证明10(2009 年湖南卷)将正ABC 分割成 n2(n2，nN)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了 n2,3 的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别成等差数列，若顶点A，B，C 处的三个数互不相同且和为 1，记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)2，求f(3)和 f(n)参考答案参考答案1B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.9917解析：由题设可知，如果 am0，则有 a1a2ana1a2a2m1n(n ，证明略121312n1n210解析：当 n3 时，如题图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知abc1，x1x2ab，y1y2bc，z1z2ca.x1x2y1y2z1z22(abc)2，2gx1y2x2z1y1z2.6gx1x2y1y2z1z22(abc)2.即 g 而 f(3)abcx1x2y1y2z1z2g1312 .13103进一步可求得 f(4)5.由上知 f(1)中有三个数，f(2)中有 6 个数，f(3)中共有 10 个数相加，f(4)中有 15 个数相加，若 f(n1)中有 an1(n1)个数相加，可得 f(n)中有(an1n1)个数相加，且由 f(1)1 ，f(2) f(1) ，f(3)f(2) ，f(4)5f(3) ，3363333331034353可得 f(n)f(n1)，所以n13f(n)f(n1)f(n2) n13n13n3 f(1)n13n3n1333 (n1)(n2)n13n3n1333231316