第三节 对称问题题号12345答案一、选择题1直线 2xy30 关于定点 M(1,2)对称的直线方程是( )A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy502已知直线 l1：xmy50 和直线 l2: xnyp0，则 l1 、l2关于 y 轴对称的充要条件是( )A. Bp55mpnCmn 且 p 5 D. 且 p51m1n3曲线 y24x 关于直线 x2 对称的曲线方程是( )Ay284x By24x8Cy2164x Dy24x164已知圆 C 与圆(x1)2y21 关于直线 yx 对称，则圆 C 的方程为( )A(x1)2y21 Bx2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)215如下图所示，已知 A(4,0)、B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( )A2 B610C3 D235二、填空题6直线 y x 关于直线 x1 对称的直线方程是_127点 A(4,5)关于直线 l 的对称点为 B(2,7)，则 l 的方程为_8两直线 yx 和 x1 关于直线 l 对称，直线 l 的方程是_33三、解答题9已知ABC 的一个顶点 A(1，4)，B、C 的平分线所在直线的方程分别为l1：y10，l2：xy10，求边 BC 所在直线的方程10.在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为1，AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合如右图所示将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在直线的方程参考答案参考答案 1解析：设已知直线 2xy30 上的任一点为 P(x，y)，P(x，y)关于点(1,2)的对称点为 Q(x，y)，则 x2x, y4y.代入已知直线的方程，得：2(2x)(4y)30即 2xy50.故选 B.答案：B2解析：将直线 l1中的 xx，yy得xmy50 即 xmy50它与 l2表示同一条直线，mn，且 p5，选 C.答案：C3解析：设曲线 y24x 关于直线 x2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P(x，y)，则 P(x，y)关于直线 x2 的对称点为 Q(4x，y)因为 Q(4x，y)在曲线 y24x 上，所以 y24(4x)，即 y2164x.答案：C4解析：要求圆 C 的方程，只需求圆 C 的圆心坐标，圆 C 的半径与已知圆的半径相等由点 M(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)知，圆心(1,0)关于 yx 的对称点为(0，1)，圆 C 的方程为：x2(y1)21.答案：C5解析：设点P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 M，关于 y 轴的对称点为 N，则线段 MN 的长即为光线所走的路程，易求得点 N 坐标为(2,0)，直线 AB 的方程为 xy4，设点 M 的坐标为 M(m，n)，则Error!Error!m4，n2.M 的坐标为(4,2)由两点间的距离公式得|MN|2，故选 A.4010答案：A6解析：设所求曲线上任一点坐标为(x，y)，则其关于 x1 的对称点为(2x，y)，代入y x，得 y (2x)，即 x2y20.1212答案：x2y207解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线答案：3xy308解析：l 上的点为到两直线 yx 与 x1 距离相等的点的集合，即33|x1|，化简得 xy20 或 3xy20.|x 3y|1 3233答案：xy20 或 3xy20339解析：设点 A(1，4)关于直线 y10 的对称点为 A(x1，y1)，则x11，y12(1)(4)2，即 A(1,2)在直线 BC 上，再设点 A(1，4)关于 l2：xy10 的对称点为 A(x2，y2)，则有Error!解得Error!即 A(3,0)也在直线 BC 上，由直线方程的两点式得，即 x2y30 为边y202x131BC 所在直线的方程10解析：当 k0 时，此时 A 点与 D 点重合，折痕所在的直线方程 y ，12当 k0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为G(a,1)，所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，有 kOGk1， k1ak，1a故 G 点坐标为 G(k,1)，从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为 M，(k2，12)折痕所在的直线方程 y k，12(xk2)即 ykxk22k2由得折痕所在的直线方程为：k0 时，y ；k0 时 ykx .12k22k2