第四节 平面向量的拓展与应用题号12345答案一、选择题1(2010 年广东卷)一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知 F1，F2成 60角，且 F1，F2的大小分别为 2 和 4，则 F3的大小为( )A6 B2 C2 D2572(2010 年陕西卷)在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM1，点 P 在 AM 上且满足2，则()等于( )APPMAPPBPCA. B. C D494343493(2010 年浙江卷)已知向量 a(1,2)，b(2，3)，若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c( )A. B.(79，73)(73，79)C. D.(73，79)(79，73)4(2010 年福建卷)设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于( )A以 a，b 为邻边的平行四边形的面积B以 b，c 为两边的三角形面积C以 a，b 为两边的三角形面积D以 a，c 为邻边的平行四边形的面积5(2010 年滨州模拟)已知|a|2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有实根，则a 与 b 的夹角的取值范围是( )A. B.0，63，C. D.3，236，二、填空题6.(2009 年天津卷)如右图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC，则_.(1，2)BD(3，2)ADAC7.如右图所示，在ABC 中，BAC120，AB2，AC1，D 是边 BC 上一点，DC2BD，则_.ADBC8已知ABC 中，点 A、B、C 的坐标依次是 A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，BC边上的高为 AD，则的坐标是：_.AD三、解答题9(2010 年湖南卷)在ABC，已知 2|ABAC3AB|3BC2，求角 A、B、C 的大小AC10(2010 年广东卷)已知向量 a(sin ，2)与 b(1，cos )互相垂直，其中 (0，2)(1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 5cos()3cos ，0，求 cos 的值5 2参考答案参考答案1解析：F F F 2F1F2cos(18060)28，所以 F32，选 D.2 32 12 27答案：D2解析：由2知，P 为ABC 的重心，根据向量的加法，2则(APPMPBPCPMAP)2PBPCAPPM2|cos 02 1 .APPM231349答案：A3解析：不妨设 c(m，n)，则 ac(1m,2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)；又 c(ab)，则有 3mn0，则有 m ，n .7973答案：D4解析：设 a 与 b 的夹角为 ，|bc|b|c|cos b，c|b|a|cos(90)|b|a|sin ，即为以 a，b 为邻边的平行四边形的面积答案：A5解析：|a|2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有实根，则|a|24ab0，设向量 a，b 的夹角为 ，cos ，故选 B.ab|a|b|14|a|212|a|2123，答案：B6解析：令a，b，则Error!ABADa(2,0)，b(1,2)，所以b(ab)3.ADAC答案：37解析：法一：由余弦定理得 cos BAC，AB2AC2BC22 AB ACcos B，AB2BC2AC22 AB BCAB2(13BC)2AD22 AB 13BC可得 BC，AD，7133又，夹角大小为ADB，ADBCcos ADB，BD2AD2AB22 BD AD891所以ADBCcos ADB .ADBC83法二：根据向量的加减法法则有：，BCACAB ()，此时ADABBDAB13ACAB13AC23AB()ADBC(13AC23AB)ACAB2213|AC|13ACAB23|AB| .13138383答案：838解析：设 D(x，y)，则，AD(x2，y1)，BD(x3，y2)BC(6，3)，ADBCBDBCError!得Error!，所以.AD(1，2)答案：(1,2)9解析：设 BCa，ACb，ABc由 2|得 2bccos Abc，所以 cos A.又 A(0，)，因此 A .ABAC3ABAC3326由|3BC2得 bca2，3ABAC3于是 sin Csin Bsin2A，334所以 sin Csin，sin C，因此 2sin Ccos C2sin2C(56C)34(12cos C32sin C)343，sin 2Ccos 2C0，即 sin0.33(2C3)由 A 知 0C，所以 2C ，从而 2C 0，或 2C ，即 C ，6563343336或 C，故 A ，B，C ，或 A ，B ，C.236236662310解析：(1)ab，absin 2cos 0，即 sin 2cos .又sin2cos21，4cos2cos21，即 cos2 ，15sin2 .又 ，sin ，cos .45(0，2)2 5555(2)5cos()5(cos cos sin sin )cos 2sin 3cos ，555cos sin ，cos2sin21cos2，即 cos2 ，12又 0 ，cos .222