高中数学高中数学 选选修修- -问题情境问题情境法国法国队报队报网站的文章称刘翔以不可思议网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场这名的速度统治了赛场这名2121岁的中国人跑的几乎比岁的中国人跑的几乎比炮弹还快赛道上显示的炮弹还快赛道上显示的12.9412.94秒的成绩已经打破了秒的成绩已经打破了12.9512.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.9112.91秒秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s8.52m/st / s20 3034 2 10 20 30 A (1，3.5) B (32，18.6) OS/m2 10 某人走路的第某人走路的第1 1秒到第秒到第3434秒的位移时间图象如图所示秒的位移时间图象如图所示 ：C(34，33.4)t /s20 30 34 2 10 20 30 A (1，3.5) B (32，18.6) O2 10 S/m14.814.815.115.1C(34，33.4)问题1 从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？问题2 从A到B这一段与从B到C这一段，你感觉哪一段的 位移变化得较快？AB段位移增加得平缓， BC段位移则是陡然增加 （3）曲线上BC之间一段几乎成了直线，由此联想 到如何量化直线的倾斜程度？（1） 的大小能否作为量化BC段陡峭的程度的量？在考察 的同时必须考察 学生活动学生活动（2）还必须考察什么量？案例中，从B到C位移“陡增”，这是我们从 图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？t(s)2030 3422030ABOCs (m)210t/s2030 342 10 20 30 A (1，3.5) B (32，18.6) OC (34，33.4) S/m 2 10联想到用斜率 来量化直线的 倾斜程度，我 们用比值：来近似地量化B，C之间这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为位移在区间32，34上的平均变化率2030 342 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) OC (34, 33.4)S/m 2 10位移在区间1，32上的平均变化率为：位移在区间32，34上的平均变化率为：虽然点虽然点A A，B B之之 间的位移差与间的位移差与 点点B B，C C之间的之间的 位移差几乎相位移差几乎相 同，但它们的同，但它们的 平均变化率却平均变化率却 相差很大相差很大t/s一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，建构数学建构数学注意：不能注意：不能 脱离区间而脱离区间而 言言则平均变化率即为若设即将 看作是对于 的一个“增量”一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2x1xf(x2)f(x1)y直线AB的斜率观察函数观察函数f(x)的图象的图象，平均变化率平均变化率表示直线表示直线ABAB的什么的什么? ?思考：思考：一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所 示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12 个月该婴儿体重的平均变化率t/月W/kg639123.56.58.611数学运用数学运用t/月W/kg639123.56.58.611解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为如何解释从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（kg/月）？不同的区间上平不同的区间上平 均变化率可能不均变化率可能不 同同本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？(kg/月)(kg/月)例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)520.1t（单位：cm3），试计算第一个10s内V的平均变化率问题1 例2中的平均变化率的 实际意义是什么？解 在第一个10s内，体积V的平均变化率为平均变化率可平均变化率可 正可负正可负问题2 负号表示容器甲中的水 在减少，但是否表示10秒内每 一时刻容器甲中水的体积减少 的速度呢？ 甲甲 乙乙问题3 乙容器中水的体积平均 变化率为多少？甲甲 乙乙解 在第一个10s内，体积V的平均变化率为例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)520.1t（单位：cm3），试计算第一个10s内V的平均变化率例3 已知函数f(x)2x1，g(x)2x, 分别 计算在区间3，1，0，5上f(x)及g(x)的 平均变化率 你在解本题的过程中有没有发现什么？你在解本题的过程中有没有发现什么？一次函数ykxb在区间m，n上的平均变化率等 于斜率kABOxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)xy你能解释为什么会出现这一现象吗？你能解释为什么会出现这一现象吗？例4 已知函数 ，分别计算 在下列 区间上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001；xy13o21.1函数在函数在 的平均变化率：的平均变化率：多算几次，找找规律多算几次，找找规律你在解本题的过程中有你在解本题的过程中有 没有发现什么？没有发现什么？练习练习1 1 在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时 间间( (规定有一方到达终点则比赛结束规定有一方到达终点则比赛结束) )，是乌龟的位移平均变，是乌龟的位移平均变 化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？课堂练习课堂练习练习练习2 2 下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平 均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况 09:3009:30至至11:00 11:0011:00 11:00至至11:30 14:0011:30 14:00至至14:07 14:0714:07 14:07至至15:0015:0009:3009:30至至11:0011:00价格的平均变化率为价格的平均变化率为11:0011:00至至11:3011:30价格的平均变化率为价格的平均变化率为14:0014:00至至14:0714:07价格的平均变化率为价格的平均变化率为14:0714:07至至15:0015:00价格的平均变化率为价格的平均变化率为解 解 (元/小时)(元/小时)(元/小时)(元/小时)1.平均变化率 一般的，函数f(x) 在区间上x1，x2的平均变化率为 回顾反思回顾反思平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变 化趋势，那么，2.反思 如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？平均变化率不能脱离区间而言，不同区间上平均变化率可能平均变化率不能脱离区间而言，不同区间上平均变化率可能 不同不同平均变化率可正可负可为零，平均变化率可正可负可为零，正负号正负号分别表示变化量的增加或分别表示变化量的增加或 减少减少, ,平均变化率的绝对值的大小平均变化率的绝对值的大小反映变化量变化的快慢程度反映变化量变化的快慢程度 平均变化率的几何意义：连接区间两端点直线的斜率平均变化率的几何意义：连接区间两端点直线的斜率课外作业课外作业1. 1. 预习第预习第1.1.21.1.2节瞬时变化率节瞬时变化率-导数导数2. 2. 课本课本P7 P7 练习练习2 2；P16 P16 习题习题1.1 1.1 第第1 1题题3. 3. 下图中记载着刘翔在雅典奥运会下图中记载着刘翔在雅典奥运会110110米栏中的比赛数据米栏中的比赛数据 ，试计算各个阶段刘翔位移的平均变化率，试计算各个阶段刘翔位移的平均变化率2.421s0.959s1.004s0.994s 0.981s1.021s0.962s0.999s1.507s1.038s1.024s50.28m59.72m 6.362s6.548s9.14m9.14m13.72m14.02m32.00m 4.379s45.70m 4.962s32.30m3.569s