一般地，对于n N*有二项定理:二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？45下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特 点？计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 16152015611510105114641133112111对称性详解九章算法中记载的表杨 辉杨辉三角(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)61）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6+ + +展开式的二项式 系数依次是： 从函数角度看， 可看 成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右 图中的7个孤立点（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等这一性质可直接由公式得到图象的对称轴：（2）增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 由：可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的 后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值 。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。（2）增减性与最大值 （3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：（1）一般地， 展开式的二项式系数有如下基本性质：（2）（4）（3）当n为偶数时， 最大当n为奇数时， = 且最大 （对称性）第0行1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 1 第5行 1 5 1 第6行 1 6 15 6 1第n-1行 11第n行 11 第7行 1 7 21 21 7 11035+ +=355 1520104“斜线和”=125第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1第1行 1 1第0行1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 113813 2134如图图，写出斜线线上各行数字的和，有什么规规律？第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列 ，也称为兔子数列。，也称为兔子数列。斐波那契数列斐波那契 （11701250）意大利商人兼数学家,他的著作算盘书中,首 先引入阿拉伯数字，将“ 十进制”介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展 有深远的影响。例1 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令 ，则： 已知求:(1) ； (2) ； (3) ;(4)变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？解类型：求展开式中系数最大的项方法:利用通项公式建立不等式组变式练：变式练：在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项. 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则即 3(r+1)2(20-r) 解得2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为(1)二项式系数的三个性质(2) 数学思想：函数思想a 单调性；b 图象；c 最值.小 结2.求证：