目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 重积分的应用 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 1. 能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是 对区域具有可加性 用微元分析法 (元素法)建立积分式 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法: 目录 上页 下页 返回 结束 一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为目录 上页 下页 返回 结束 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 例1. 求曲面分析: 第一步: 求切平面 方程; 第二步: 求 与S2的交线 在xOy面上的投影,写出所围区域 D ;第三步: 求体积V . (示意图) 目录 上页 下页 返回 结束 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xOy 面上的投影为(记所围域为D )在点例1. 求曲面目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解: 在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即目录 上页 下页 返回 结束 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算双曲抛物面被柱面所截解: 曲面在 xOy 面上投影为则出的面积 A .目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算半径为 a 的球的表面积.解:设球面方程为 球面面积元素为方法2 利用直角坐标方程. (略)方法1 利用球坐标方程.目录 上页 下页 返回 结束 三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知, 该质点系的质心坐标设物体占有空间域 , 有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 目录 上页 下页 返回 结束 将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点目录 上页 下页 返回 结束 同理可得则得形心坐标：目录 上页 下页 返回 结束 若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,( A 为D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的静矩 对 y 轴的静矩目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求位于两圆和 的质心. 解: 利用对称性可知而之间均匀薄片目录 上页 下页 返回 结束 例6. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线的方程为内储有高为 h 的均质钢液,解: 利用对称性可知质心在 z 轴上 ，采用柱坐标, 则炉壁方程为因此故自重, 求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量目录 上页 下页 返回 结束 如果物体是平面薄片, 面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.目录 上页 下页 返回 结束 例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.目录 上页 下页 返回 结束 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则球体的质量例8.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的设球所占 域为(用球坐标) 转动惯量. 目录 上页 下页 返回 结束 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则球体的质量例8.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的设球所占 域为(用球坐标) 转动惯量. 目录 上页 下页 返回 结束 ,G 为引力常数五、物体的引力 设物体占有空间区域 ,物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为其中目录 上页 下页 返回 结束 若求 xOy 面上的平面薄片D, 对点P0处的单位质量质点的引力分量, 因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为 即可. 例如, 其中: 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解: 由对称性知引力处的单位质量质点的引力. 。目录 上页 下页 返回 结束 例10. 求半径为R的均匀球对位于的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量点目录 上页 下页 返回 结束 为球的质量目录 上页 下页 返回 结束 作业P153 7，10 , 17 P173 1，3，6, 11, 13 , 14习题课 目录 上页 下页 返回 结束 ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研)备用题目录 上页 下页 返回 结束 侧面方程: 提示:记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则(用极坐标) 目录 上页 下页 返回 结束 由题意知令得因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为 100小时.