实验5 泰勒公式与函数逼近 内容提要 本实验对于函数以及它的各次泰勒公式和泰勒多 项式进行演示，以使大家对于泰勒多项式对函数 的逼近有一个直观的了解。 实验步骤 本实验讨论y=sinx的泰勒公式（实际讨论的是x=0 处的泰勒公式，即麦克劳林公式）。 泰勒公式与函数逼近 首先我们知道y=sinx在x=0处的偶数阶导数为零， 因此我们展开y=sinx到1阶，3阶，5阶，并储存在 变量 p1,p3,p5中，即分别键入 后运行，可以看到输出的结果带有一个佩亚诺余项 ，正由于这个余项使我们无法显示这些展开式的图 形，例如我们试显示 P5 的图形，当键入：泰勒公式与函数逼近 后运行，即显示一行 红色的警告信息，表 示无法作图，为此我 们把这些泰勒公式化 为正常的多项式，可 利用 “Normal” 命 令去掉余项得到泰勒 多项式，再用作图命 令作出泰勒多项式的 图形（如图 24 ）， 即键入：泰勒公式与函数逼近 有了上面的准备，现在我们可在同一坐标系内显 示y=sinx及它的各次泰勒多项式。这里为了加 运行，我们用“Table”命令把y=sinx的直到19阶 的泰勒多项式构成一个函数，然后用 “PrependTo”命令把y=sinx本身加入这个函数集 ，并在-，内显示它们的图形（如图25），即键 入：泰勒公式与函数逼近 如图25泰勒公式与函数逼近 为了分别观察泰勒多项式的变化情况，我们还可 分别作出y=sinx的直到19阶的泰勒多项式（如图 26）即键入：泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近 并运行。为使图形演示更加生动，我们还可用 鼠标选定这些图形后进行动画演示（即选定这 些图形后再同时按“Ctrl”和“Y”键）。 最后我们再扩大显示的区间范围，以观察 在偏离展开点泰勒多项式对函数的逼近情况， 为此键入：泰勒公式与函数逼近 通过观察泰勒多项式图形与函数图形（如图27） 的重合与分离情况。可以看到在-，范围内 y=sinx的9次泰勒多项式与函数图形几乎无差别， 而在-2，2 范围内 y=sinx的各次泰勒多项式陆 续与y=sinx的图象分离，但其15次以及更高次的 泰勒多项式仍紧靠着y=sinx而在-3，3范围内其 15次泰勒多项式的图形也与y=sinx的图象分离。 可见，函数的泰勒多项式对于函数的近似程度， 随着次数的提高。但对于任一确定次数的多项式 ，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好 的近似精确度。 泰勒公式与函数逼近