飞行器结构力学基础电子教学教案西北工业大学航空学院 航空结构工程系第四章 静不定结构的内力与变形计算 Internal Forces and Deformations of Statically Indeterminate Structures第一讲静不定结构的概念 力法基本原理与力法正则方程4.1 静不定结构的概念所谓静不定结构是指：具有多余约束的几何不变体。或 f 0 的几何不变体。从静不定结构的运动学上：结构的自由度数 N独立的静力平衡方程数目N未知力的数目C状态状态状态状态分解为三 个力状态 的叠加外载荷在基 本系统上引 起的内力未知力X1 在 基本系统上 引起的内力未知力X2 在 基本系统上 引起的内力静不定结构 在外载荷作 用下的内力由叠加原理：一线弹性体在诸外力作用下产生的效应等于每个 力单独作用下产生的效应之和。状态状态状态状态将状态、 状态分别用单位状态来表示，状态状态状态单位状态单位状态X 1 =1时，在 基本系统上 引起的内力X 2 =1时，在 基本系统上 引起的内力P状态状态状态如何求这三个状 态下的内力和位 移呢？静定结构的 内力和位移 计算方法状态和状态、 状态的内力求解：静不定结构中各元件的内力静不定结构当 X1 和 X2 为已知时， 静不定结构中各元件的内力便可以用叠加 原理，通过下式求出：问题关键是：如何确定 X1 和 X2 呢？4.2 力法基本原理与力法正则方程静不定结构PX 1X 2X1 和 X2 应满足1点处的变形协调条件：1 = 0， 2 = 01转化为利用变形协调条件，建立关于多余未知力的变形协调方程外力单独作用在 基本系统上，在 切口X1和X2方向 的相对位移为 1P和2P 。X1 单独作用在 基本系统上， 在切口X1和X2方 向的相对位移 为11和21 。X2 单独作用在 基本系统上， 在切口X1和X2方 向的相对位移 为12和22 。 由叠加原理和变形协调条件：变形协 调方程分别求出 、 三个状态在1处的位移值：状态下： 在切口X1和X2方 向的相对位移为 1P和2P 。状态下：在 切口X1和X2方向 的相对位移为 11和21 。状态下：在 切口X1和X2方 向的相对位移 为12和22 。这就是2次静不定结 构的典型方程，也称 为正则方程。将状态和 状 态的位移，分别用单位状 态和单位状态 的位移来表示。求出多余未知力：X1 和 X2静不定结构的内力求解：叠加 状态和单位状态和 求出静不定结构的全部内力11、21、12、22 单位状态影响系数。 1P、2P 载荷影响系数。1P 2P 11 12 12 22 正则方程中(位移)影响系数的求法： 可用单位 载荷法计 算获得 关于位移影响系数的进一步说明 i P外载荷或状态所求位移的位置和方向 i j所求位移的位置和方向单位力外载荷在第 i 个位移方向上引起的位移。第 j 个单位力在第 i 个位移方向上引起的位移。第2个下标表示载荷作用位置；第1个下标表示所求位移位置。1、 i i 02、 i j = j i( i j )首先解除n个多余约束代之以n个多余未知力，需要作( n+1 ) 个状态，即一个状态和 n 个单位状态 ( i=1n )。解此正则方程，求出多余未知力X1、X2、Xn。ii = ij = = jiiP =一般地，对于一个 n 次静不定结构：按照其变形协调条件组成的力法正则方程为叠加状态和 n 个单位状态 的内力，求出静不定结构 的全部内力：将静不定问题转化为静定问题，以多余未知力作为基本未知 量，利用变形协调条件建立补充方程，从而求解结构内力的方 法，称为力法( force method )。根据结构几何组成分析，正确判断多余约束数静不定次 数。解除多余约束，转化为静定的基本系统。多余约束代以多余 未知力基本未知力。分析基本系统在单位基本未知力和外界因素作用下的位移， 建立位移协调条件力法典型方程或正则方程。从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。静 不定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。力法基本原理思路小结：4.3 静不定结构内力计算力法解静不定结构内力的步骤：(1) 准确判断系统的静不定次数 f ； (2) 选取并解除多余约束(即选取基本系统)，分别求出状 态和各单位状态内力，并作出各自的内力图； (3) 利用单位载荷法求位移影响系数； (4) 建立力法正则方程，并解此方程，首先求出多余未知力； (5) 利用叠加原理求出结构真实内力，并绘制内力图。(6) 对计算结果进行校核。对计算结果除需进行力的校核外， 还必需进行位移的校核。解 (1) 分析静不定次数。结构具有4个自由结点，有8个自由度，而杆子数目为10，相当于10个约束。故 f = 2。 (2) 选取基本系统。 选杆2-4及杆3-5的轴力为多余约束力，切断杆2-4及杆3-5的静定系统为基本系统。求出状态和单位状态、的内力图。 例4-1 求解图所示静不定桁架的内力，已知桁架水平杆及垂直杆的截面面积均为A，斜杆的断面面积为 ，各杆子的材料相同。 (3) 计算位移影响系数 (4) 建立力法正则方程，并解之。(5) 利用叠加原理求各杆内力。各杆的内力可按下式计算， 例如，杆2-5的轴力为 其它各杆的轴向力均可如上法求出， 最后绘制内力图。例4-2 求图示刚架的内力。刚架几何形状、截面惯性矩、载荷及约束情况均如图示。 解 (1) 分析刚架的静不定次数。外部约束多余2个，故 f = 2。 (2) 选取基本系统。 选1点处的两个支座反力为多余约束力，去掉1点的支座的系统为基本系统。求出状态和单位状态、的内力图。 (3) 计算位移影响系数，可利用图形互乘法。(4) 建立力法正则方程，并解之。(5) 利用叠加原理求刚架内力，内力可按 下式计算， 例如，刚架中点A、2、3处的弯矩分别为 最后绘制内力图。轴力图和剪力图也可以按下式计算，具体计算从略。 关于基本系统选取的讨论从静不定问题转化为静定问题，多余约束的选取不 是唯一的，因此力法求解的基本系统也不是唯一的。例如：对于图示的两次静不定刚架，可以选取不同的 多余约束，形成不同的基本系统。解法 1：原静不定问题解法 2：解法3：原静不定问题解法 4：解法 5：力法求解的基本系统不同，计算得到的多余未知力的值可能不相同，但叠加得到的静不定结构的最终内力是相同的。不同的基本系统，带来不同的计算工作量。因此，要合理选取基本系统，以减少计算工作量。