3.2.2平面的法向量与平面的向量表示高中数学选修21提问：A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M共面的充要条件是： BACM图示：平面的向量方程1.直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量： 如果向量 的基线与平面 垂直，则向量 叫平面 的法向量。几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量 是平面的法向量，向 量 与平面平行或在平面内 ，则有A给定一点A和一个向量 ,那么过点 A,以向量 为法向量的平面是完全 确定的.l3. 平面的向量表示： 因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，上节我们用直线的方向向量表 示了空间直线、平面间的平行 如何用平面的法向量表示空间两平面平 行、垂直的位置关系呢？4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件 l1教材未提l教材未提待定系数法例 如图图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别别在对对角线线上，且 求证证：ABCDEFxyzMN简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，所以AB，AD， AF互相垂直。以 为正交 基底，建立如图所示空间坐标系， 设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，则可得各点坐标，从而有又平面CDE的一个法向量是因为MN不在平面CDE内 所以MN/平面CDE分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直.例:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .mng取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方 向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要 证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量 的条件与向量的目标的联系?mng解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 例:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .6.有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理 P104什么叫平面的斜线、垂线、射影？什么叫平面的斜线、垂线、射影？如果如果a , aa , aAOAO，思考思考a a与与POPO的位置关的位置关系如何？系如何？a a A AP Po o PO PO是平面是平面 的斜线的斜线, , OO为斜足为斜足; ; PA PA是平面是平面 的垂线的垂线, A, A为垂足为垂足; ; AO AO是是POPO在平面在平面 内的射内的射影影. .例题分析：例题分析：1 1、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确(1) (1)若若a a是平面是平面的斜线、直线的斜线、直线b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射影，则内的射影，则abab。 ( ) ( ) (2) (2)若若a a是平面是平面的斜线，的斜线，b b是平面是平面内的直线，内的直线，且且b b垂直于垂直于a a在在内的射影，则内的射影，则abab。 ( ) ( ) 三垂线定理三垂线定理PO 平面PAOaPO答：答：a aPOPO三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。为什么呢？为什么呢？PA a PAa AOaa平面PAO三垂线定理三垂线定理P Pa a A Ao o 数式板书1 1、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是PO(PO(斜线斜线) )、AO(AO(射射影影) )、a(a(直线直线) )之间的垂直关系。之间的垂直关系。 2 2、a a与与POPO可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。 3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。平面内的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：对三垂线定理的说明：三垂线定理三垂线定理4 4、三垂线定理的图形是由、三垂线定理的图形是由“ “四线一面四线一面” ”五个五个 部件组成部件组成垂线、斜线、射影、面内一线、垂线、斜线、射影、面内一线、平面平面三垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条一条斜线斜线垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条斜线斜线的射影的射影垂垂 直。直。三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条和这个平面的一条斜线的射影斜线的射影垂直，那么它也垂直，那么它也 和这条和这条斜线斜线垂直。垂直。P Pa a A Ao o 数式另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, 证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量 的数量积为零.证明：如图,已知: 求证：在直线l上取向量 ,只要证为分析:逆定理同样可用向量,证明思路几乎 一样,只不过其中的加法运算 用减法运算来分析.法二：三垂线定理法板书关于三垂线定的应用，关键是找出平面关于三垂线定的应用，关键是找出平面( (基准面基准面) )及垂线及垂线 。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 第一、定平面第一、定平面( (基准面基准面) ) 第二、找平面第二、找平面垂线垂线（电线杆电线杆）第三、看第三、看斜斜线，射影可见线，射影可见三垂线定理三垂线定理第四、第四、证明证明直线直线a a垂直于射影线，从而得出垂直于射影线，从而得出a a与与b b垂直。垂直。 强调：强调：11四线四线是相对同是相对同一一个平个平面面而言。而言。 22定理的关键是找定理的关键是找“ “基准面基准面” ”和和“ “电线杆电线杆” ”。 A1D1C1B1ACBD FE证明: 设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBD FEABCO小结1.直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量： 3. 平面的向量表示： 4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件 6.有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理 P104巩固性训练11.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.平行垂直平行巩固性训练21.设 分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系.垂直平行相交1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= .3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为 (1,1/2,2),且 ，则m= .巩固性训练31如图，正方体 中， E为 的中点，证明： /平面AEC练习练习: :用空间向量来解决下列题目用空间向量来解决下列题目2、在正方体AC 中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BBAD 、D C 、DD的中点，求证：平面PQR平面EFG。 BD平面EFGABCDABCDFQEGRP例. 在空间直角坐标系内，设平面 经过点 ，平面 的法向量为 ， 为平面 内任意一点，求满足的关系式。解：由题意可得