指数幂与指数函数王尚志、张饴慈、胡凤娟 首都师范大学 数学科学学院摘要：指数函数是怎样定义的？指数函数定义与整数幂函数（ ）性质有什么(0)nyx联系？指数函数的运算性质和单调性质是如何证明的？本文从初中学习过的整数指数幂出发，通过有理数指数幂的定义、运算性质和单调性，最后说明实数指数幂定义的合理性，给出实数指数幂运算性质的证明和实数指数幂函数连续性和单调性的证明。关键词：指数幂的定义 指数函数的单调性 指数函数的连续性 在高中数学教材中，没有给出指数函数的严格定义，对其运算性质和单调性质是也没有严格证明。在大学中，这部分内容又一带而过，很少有参考资料。本文从初中学习过的正整数指数幂和整数指数幂出发，通过有理数指数幂的定义、性质和单调性，最后说明实数指数幂定义的合理性，给出实数指数幂性质的证明和实数指数幂函数连续性和单调性的证明，供老师参考。希望老师们能够从中了解哪些内容是需要定义的？哪些内容是需要证明的？重视定义的重要性。另外，数学是严谨的，但是对不同人的数学严格性要求的也是不同的，希望优秀的数学教师能够了解并思考指数函数单调性、连续性的证明思路和证明过程。一、指数函数定义和性质证明的思路初中学习过的正整数指数幂和整数指数幂，以及它们的运算性质。如何逐步扩充到有理数指数函数和一般指数函数，并证明他们的运算性质、连续性和单调性？实际上，对有理数指数幂的运算性质和单调性、实数指数幂的运算性质、单调性和连续性的证明，我们可以用定义直接证明单调性、连续性，也可以先证明运算性质，再用运算性质证明单调性、连续性。两种渠道没有本质的区别。下面的框图提供了解决这些问题的一种思路。正整数指数幂的运算性质正整数指数幂定义整数指数幂的运算性质整数指数幂定义有理数指数幂的运算性质有理数指数幂函数的单调性有理数指数幂定义关于 连续和单调, (0)nyxx1na()N, 1,()rarQ1limli(0)nrna实数指数幂的运算性质实数指数幂函数的单调性实数指数幂定义实数指数幂函数的单调性二、正整数指数幂和整数指数幂在初中，学生已经学习了整数指数幂的定义和运算性质。下面的第一部分和第二部分是对这部分内容的简单复习和回顾。（一）正整数指数幂（1）定义 1： 是任意实数， 是正整数，定义 ，把 称作an()nnaaN 个 na的 次幂。an（2）运算性质：正整数指数幂具有以下 5 条运算性质：对任意的实数 a、b 和正整数 m、n 有：1nmn、 ；2、 ；3nnab、 ；准备内容准备内容41,mnnaa当 时、 当 0时 ,有 当 =时 ； 当 时。 0nab5、 ,mnN可以利用定义 1 直接证明这些性质，证明可以在中学教材中找到，本文略去。（二）整数指数幂（1）定义 2：在正整数指数幂的基础上，定义 ，这样就将01,0,naanN指数扩充到了整个整数上。（2）运算性质：把正整数幂扩充成整数指数幂后，前面的五个性质，可以归结为以下 3 条运算性质：对任意的实数 a、b 和整数 m、n 有1nmna、 ；2、 ；。3nnb、在上面三个式子中，当指数是负整数时，我们要求底数不为零。这部分运算性质，可以通过分类讨论用定义 2 直接证明，本文略去。三、有理数指数幂为了给出有理数指数幂的定义，我们需要做必要的准备，证明引理 1。引理 1：关于 的幂函数 是连续和单调递增的。x(0,)nyxN证明：下面我们分别证明连续性和单调性。 连续性对任意的 ，当 时，由二项式定理和极限的性质，得：0。因此， 在定义域上的任何一点都连续，0()limnxx(0,)nyx即 是连续函数。,)yN 单调性对任意的 ，当 时，由二项式定理得： 因此，0x()nx0是单调递增函数。(,)ny由此引理 1 不难得出以下推论。推论 1：若 ，且 ，则 。 0anN1na()N有了上面的准备，我们就可以给出有理指数幂的定义。给定 ，正整数 和 ，0anm由于 是连续和严格单调的，不难理解 与 之间是一一对应的，所以()nyxxy的反函数存在。对于给定的函数值 ，一定存在唯一的自变量 ，使得0mab。这样我们就可以得到正有理数指数幂的定义。nmba（1）有理数指数幂定义定义 3：对任意的 ，正整数 和 ，存在唯一的正数 使得 ，我们把0anbnma记做 （有时也记作 ） 。bmnmb若 ，由定义知， 。对 式两边同时乘 次方，得 ，ananmbkkmnab再由定义知， ，所以 。这说明上面的定义是合理的。kmnkm推论 2：若 ， ，则 。0,()prqN1,()raQ证明：由定义 3 知， 。若 ，由推论 1 知 ，即 ，再)rpapa(1rq由推论 1 知， 。反之，若 ，由推论 1 知， ，即 ，再由推论 1rar()rq知 。证毕。（2）运算性质：整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用。对于 是正120,abr有理数，有以下三条性质： 2112rra、 ；。3rrb、性质 1 是最基本的性质，性质 2、3 是特殊的性质，我们先证明性质 3 和性质 2，最后证明性质 1。 性质 3： 的证明rrab令 由定义 3 有： ，即 。由整,rrpcdq,pqpqacbdqpcab、 ；数幂的运算性质可得， 。再由定义 3 得：qppcdab，即 ，即 。pqcdabrrrr 性质 2： 的证明2112rra令 由定义 3 有： ，令 ，由定义 31112,prqpcq1qpca2pqdc有： ，再由整数幂的运算性质有， ，2pdc 2121211212()qpqppda即 ，再由定义 3 得： ，又 所以 =1212qa12pa221(,ca12q，即 。12p112rr 性质 1： 的证明212r令 右边= ，由性质 2 知， 21,pq1212ppqqa12pqa，再由整数指数幂的运算性质知： 12qa 12pqa，由性质 2 知， =左12211ppqq12211pqpq1212pqra边，即 。1212rra（3）证明 时， 是单调的0()ryQ证明：我们先证明 时， 是单调递增的。即对任意两个有理数 ，当1ra 12,r时，证明 。12r12ra由有理数指数幂的运算性质得： ，由推论 2 知， ，1212()rra12ra由定义 3 知 ，即 。所以，当 时， 是随着 的增20r1212()0rrr加而增加的。对于 时， 是单调递减的。我们把它作为一个练习留给读者。a()ryaQ以上我们给出了正有理数指数幂的定义，并证明了其性质，下面我们再定义负有理指数幂，对其性质的证明由读者完成。给定实数 ，对任意的有理数 ，我们定义 。此时，对有理指数幂有0a0r1ra如下的三条性质：对于 是有理数：12,br2112rra、 ；。113rrb、四、实数指数幂为了给出实数指数幂，我们证明引理 2。引理 2：对任意数列 ，若 ，则对任意的 ，有 。nlim0n0alim1na证明：当 时，结论是显然的。1a当 时，对 若有 （ ） ，则 使得 ；那么0,1lina0,K1|Ka对数列 ， 当 时， ，即 ，根据有理指数幂的单nN|1n调性知， ，所以 ，即 ，所11nKKa1nKKaa 1|nrKa以 。下面我们证明 （ ）是成立的。limnlimn0要证 ，即对 要找到一个 当 时，使 。因为1n0,N1|n，所以 ， 。又因为a1|na(1)n，所以只要 ，就有 ，则(1)n a1()na。因此，取 ，则当 时，有 。 （证毕）1NnN|n对于 的情况，请读者自己完成。01a有了上面的准备，我们就可以定义实数指数幂，实际上，可以用不同的方法进行实数指数幂的定义，而这些不同的方法定义的实数指数幂实质上是等价的。下面我们给出其中的一种：（1）实数指数幂定义：定义 4：当 ，对任意一个无理数 ，对任意的单调递增数列 和单调递减数0axn列 ，使得 、 的极限都是 ，并且 ，我们记nn nn、 ；= 。xalimlinna下面我们分三个步骤说明定义的合理性：第一步：在定义 4 中，数列 、 的极限存在；nan证明：下面我们证明当 时的情况，对于 的情况请读者自己证明。101a由定义知， ，前面已经证明了有理指数幂的单调性，有数列 分nnx nna、别是单调递增和单调递减的，且 ，根据“单调有界数列有极限” ，数列nnxa都有极限。nna、第二步，证明在定义 4 中， 。limlinn证明：因为，数列 、 的极限都是 ，所以 ，nxlim()lilim0nnn即 的极限为 0。再由引理 2 知， ，根据有理指数幂的性质和极限的nli1na运算性质有， ，即 。limnalilinnlilinna第三步：证明对任意两个单调递增收敛于 的数列 、 ， 。xnlimlinna证明：因为，数列 、 的极限都是 ，所以 ，n li()0nnn即 的极限为 0。再由引理 2 知， ，根据有理指数幂的性质和极限的nlim1na运算性质有， ，即 。limnalilinnlilinna最后，由引理 1 知， 的值是唯一的，所以这样定义是合理的。x我们可以用定义 4 分别直接证明指数函数 的连续性、单调性和每一个xya(0)运算性质。在这里，我们将首先证明单调性，用单调性证明连续性，再直接证明运算性质1、3，并用 的连续性证明性质 2。xya(0)（2）证明 的单调性和连续性单调性的证明当 时，对任意两个不相等的实数 ，不妨设 ，则总存在一个有理数 ，1a,xxr使得 ，由无理数指数幂的定义知： ，因此 。所以， 是严xrraxaxa格单调递增的。同理，可以证明：当 时， 是严格单调递减的。01ax连续性的证明我们只证明 时的情况，对于 时，读者可自行证明。要证 的连续性，即对给定的实数 ， 找 当xya() 0x,0,时， 。又因为对给定 ，总存在数列 分别是单0|x0|x0xnna、调递增和单调递减的，且都收敛于 。根据定义知 = 。0alimlinn根据 。对 当 时，有 ；0xalimn,21,N1n0|2nrx同理，根据 。对 当 时，有 。0na20,2N0|nrxa此时，取 ，当 时，就有12x,N00|nn nrrra 所以令 则当 时， 。 （证毕）1200mi|,|,Nx0|x0|xa（3）指数幂的运算性质给定实数 ， ，对任意的实数 ，有：ab,y1、 xyx；2、 ；3、 。xxab 性质 1： 的证明ya由实数指数幂的定义，对任意的实数 ，存在极限为 的有理数列 ，以及,xyxxnr极限为 的有理数列 ，那么 为极限为 的有理数列。由定义 4 知，yynrnry，根据有理数指数幂的运算性质和极限