图论及其应用应用数学学院1本次课主要内容(一)、涉及算法的相关概念(二)、平面性算法平面性算法2关于图的平面性问题，我们建立了一些可平面性判 定方法：(一)、涉及算法的相关概念(1) 对于简单图G=(n, m)，如果m3n-6，则G是非可 平面的；(2) 对于连通图G=(n, m)，如果每个面次数至少为l3, 且m(n-2)l /(l-2)，则G是非可平面的；(3) 库拉托斯基定理：G是可平面的当且仅当G不含有 与K5或K3,3同胚的子图；(4) 瓦格纳定理：G是可平面的当且仅当G不含有能够 收缩成K5或K3,3的子图；3上面的方法，局限性很大。这次课我们将给出一个 算法，其作用是：如果G非可平面，通过算法可以得到 判定；如果G是可平面图，通过算法，可以给出一种平 面嵌入形式。定义1 设H是G的一个子图，在E(G)-E(H)中定义一个 二元关系“ ”:(1) e1与e2分别是W的始边和终边，且(2) W与H的内点不能相交。容易验证：上面的关系是E(G)-E(H)元间的等价关系。4定义2 设B是E(G)-E(H)关于二元关系“ ” 的等价类 在G中的边导出子图，则称B是G关于子图H的一座桥。 桥与H的公共顶点称为桥B在H中的附着顶点。例1 在下图中，红色边在G中导出子图为H。求出G关 于H的所有桥。GGB1B2B3B45定义3 设H是图G的可平面子图， 是H的一种平面嵌入 。若G也是可平面图，且存在G的一个平面嵌入 ，且：称 是G容许的。例2 在G中，我们取红色边导出的子图为H, 并取容易知道： 是G容许的。G6例3 在G中，我们取红色边导出的子图为H, 并取容易知道： 不 是G容许的。定义4 设B是G中子图H的任意一座桥，若B对H的所有附 着顶点都位于 的某个面f的边界上，则称B在面 f 内可画 入，否则，称B在面 f 内不可画入。7对于G的桥B,令：例4 红色边的导出子图是H,如果取 确定H的桥在 中可以画入的面集合。 B3B2B1f3f2f1G解：8定理1 设 是G容许的，则对于H的每座桥B:证明：因 是G容许的，由定义，存在G的一个平面嵌 入 ，使得：于是，H的桥B所对应的 的子图，必然限制在 的 某个面内。所以：注：定理1实际上给出了一个图是可平面图的一个必要条 件。这个必要条件表明：如果存在G的一个可平面子图H,9使得对于某桥B，有 ，那么，G是非 可平面的。根据上面的结论：我们可以按如下方式来考虑G 的平面性问题：先取G的一个可平面子图H1, 其平面嵌入是 对于H1的每座桥B,如果： ，则G非可 平面。否则，取H1的桥B1,作：H2=B1H1,再取一个面将B1画入 的面 f 中。10如果B1可平面，则只要把B1平面嵌入后，得到H2的 平面嵌入然后再进行上面相同的操作，可以得到G的边数 递增的子图平面嵌入序列：最终，得到可平面图G的一种平面嵌入形式。(二)、平面性算法1964年，Demoucron, Mlgrance和Pertuiset提出了下面 的平面性算法，简称DMP算法。11设G是至少三个顶点的简单块。(1) 取G的一个圈H1,求出H1的一个平面嵌入 。置i=1;(2) 若E(G)-E(Hi)=,则停止；否则，确定G中Hi的所有桥 ，并对每座桥B，求出 ；(3) 若存在桥B,使得： ，则停止 (G不可平面) ；否则，在Hi的所有桥中确定一个使得 最小的B ，并取 。(4) 在桥B中取一条连接Hi中两个附着顶点的路Pi, 置Hi+1=HiPi,把Pi画在 的面 f 内,得到12(5) 置i=i+1转(2)。例5 用平面性算法考察下图G的平面性。v6v5v4v3v2v1v8v7图G解：(1) 取G的一个圈H1,并作平面嵌入：13v6v5v4v3v2v1v8v7图G(2)v6v5v4v3v2v1v8v7H1v6v5v4v3v2v1v8v7f1f214v6v5v4v3v2v1v8v7图G(3) 取B1和f1. (4) 取P1=v1v3f3v6v5v4v3v2v1v8v7f1f215v6v5v4v3v2v1v8v7图G(3) 取B2和f3. (4) 取P2=v2v7v6v5v4v3v2v1v8v7f1f2 f316v6v5v4v3v2v1v8v7图Gv6v5v4v3v2v1v8v7f1f2 f3f417(3) 取B1和f1. (4) 取P3=v1v4v6v5v4v3v2v1v8v7图Gv6v5v4v3v2v1v8v7f1f2 f3f5f418v6v5v4v3v2v1v8v7图G(3) 取B1和f5. (4) 取P4=v2v6v6v5v4v3v2v1v8v7f1f2 f3f6f4f519v6v5v4v3v2v1v8v7图G继续下去，得到：v6v5v4v3v2v1v8v7算法分析：主要运算包括：20（i）找出块G中的一个圈Hi；（ii）确定G中Hi的桥以及它们对于Hi的附着点；（iii）对于 的每个面 f 确定其周界； （iv）对于 的每座桥B，确定 （v）在Hi 的某座桥B中求一条起点与终点均为附着点 的一条路Pi。可证上述每一个算法均存在好算法，因此平面性算法 也是好算法。本章部分习题解答21例1 求证，每个5连通简单可平面图至少有12个顶点。 证明：设G是5连通图，则：由惠特尼定理得：所以：另一方面：G是5连通简单可平面图，所以有：于是得：即：所以：n12。22例2 求证，没有6连通简单可平面图。 证明：若不然，设G是6连通图，则：由惠特尼定理得：所以：于是得：这与G是简单平面图矛盾。例3 求证：若G是连通平面图，且所有顶点度数不小于 3，则G至少有一个面 f，使得：deg(f)5。23证明：若不然，则：由欧拉公式得：于是得：另一方面：由(G)3得：2m3n 3n-6这样导出矛盾。例4设G是一个(n, m)图。 求证：若G是外可平面图， 且没有三角形，则：m(3n-4)/224证明：由条件易知：由欧拉公式得：于是得：例5 设G是一个(n, m)单图，图G分解为可平面的最少 个数称为G的厚度(G).求证：(1) 25(2) 证明: (1) 当n=1时，结论成立。设当n3时时，G分解为为(G)个可平面子图图Gi(1i (G)因为每个Gi是平面单图，于是：所以：所以：26(2) 因为K3, K4是平面图，所以(K3)= (K4)=1，而直 接计算：当5n8时，Kn是非完全图。因为存在8阶简单可平 面图G，其补图也是可平面图，所以对5n8，Kn可以 分解为两个可平面图，即： (Kn)= 2(5n8).另一方面：当5n8时，直接计算知：这就证明了(2)。27说明：习题6的1-9题比较简单，要求自己独立完成 。没有讲到的习题，作为参考。28作业P143-146 习题6 ：1-929Thank You !30